Question

Sobre operadores e campos vetoriais, é correto afirmar que: É possível calcular o rotacional de um campo escalar. Ao ser calculado o divergente de um campo vetorial, obtém-se outro campo vetorial. O gradiente de um campo escalar resulta em um campo vetorial. O rotacional de um campo é sempre o vetor nulo. O divergente é a operação inversa do gradiente.

Answer 1

Tendo em mente propriedades de calculo vetorial, podemos analisar cada uma das afirmações.

Vamos analisar as alternativas:

É possível calcular o rotacional de um campo escalar.

Falso, pois rotacional é dado por:

$\vec{\nabla}\times\vec{A}=\left[\begin{array}{ccc} i & j & k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ A_x & A_y & A_z \end{array}\right]$

Ou seja, para fazer o rotaciona lde A, é necessario que A possua componentes vetoriais.

Ao ser calculado o divergente de um campo vetorial, obtém-se outro campo vetorial.

Falso, pois o divergente é dado por:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\partial_x.A_x+\partial_y.A_y+\partial_z.A_z$

Logo o divergente é uma soma de escalares, que resulta em um escalar.

O gradiente de um campo escalar resulta em um campo vetorial.

Verdadeiro, pois o gradiente é dado por:

$\vec{\nabla}A=\partial_x.A.\vec{i}+\partial_y.A.\vec{j}+\partial_z.A.\vec{k}$

Ou seja, ele vem de um campo escalar e resulta em um vetor.

O rotacional de um campo é sempre o vetor nulo.

Falso, se o campo vetorial for constante é sempre um vetor nulo, mas se ele não for constante, então pode resultar em outros vetores.

O divergente é a operação inversa do gradiente.

Falso, esta afirmação sequer faz sentido, os dois são operações vetoriais de derivação, não tem como derivar duas vezes voltar no campo original.

Answer 2

Resposta:

A resposta correta é: O rotacional de um campo gradiente é nulo.

Explicação passo-a-passo: