Question

Sobre o dominio da função . ​

Answer 1

Para saber o domínio da função, analisaremos suas restrições.

Perceba que como tudo é uma raíz, esse valor jamais poderá dar negativo, logo:

(x-3).(x+2)/2x ≥ 0

Outra restrição é de que o denominador não pode ser zero, logo:

2x ≠ 0

x ≠ 0

Tendo tudo isso, podemos voltar para a primeira restrição e analisar mais à fundo. Para isso, analisaremos os sinais de todos os 3 fatores, afim de que o produto sempre seja positivo.

x - 3 ≥ 0

x > 3

x + 2 ≥ 0

x > -2

2x > 0

x > 0

Fazendo uma tabela de sinais (Não dá pra eu fazer aqui), podemos notar:

Para x < -2, tudo negativo, logo negativo (X)

Para -2 < x < 0, dois serão negativo, logo positivo

Para 0 < x < 3, um será negativo, logo negativo(X)

Para x > 3, nenhum negativo, logo positivo.

Então o domínio é:

D = [-2,0)∪[3,+∞)

Answer 2

A raiz enésima de índice par só existe em $\mathbb{R}$ quando o radicando é positivo ou nulo.

$\mathsf{f(x)=\sqrt{\dfrac{(x-3)(x+2)}{2x}}}$

Daí

$\mathsf{\dfrac{(x-3)(x+2)}{2x}\ge~0}$

Vamos interpretar cada parcela da

inequação— quociente como função, fazer o estudo do sinal para cada uma,elaborar um quadro sinal e assinalar a resposta.

$\mathsf{m(x)=x-3}$

$\mathsf{m(x)=0\to~x-3=0\to~x=3}\\\mathsf{m(x)>0\to~x>3}\\\mathsf{m(x)\textless~0\to~x\textless~3}$

$\mathsf{n(x)=x+2}$

$\mathsf{n(x)=0\to~x+2=0\to~x=-2}\\\mathsf{n(x)>0\to~x>-2}\\\mathsf{n(x)\textless~0\to~x\textless~-2}$

$\mathsf{p(x)=2x}$

$\mathsf{p(x)=0\to~2x=0\to~x=0}\\\mathsf{p(x)>0\to~x>0}\\\mathsf{p(x)\textless0\to~x\textless0}$

Montando o quadro—sinal(vide anexo) e assinanalando a resposta temos

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{Df(x)=\{x\in\mathbb{R}|-2\le~x\textless0~ou~x\ge~3\}}}}}}$