Question

Sobre o determinante da matriz [ 2 −1 0 −2 4 7 1 4 9 3 0 −6 3 0 3 12 ] é correto afirmar que seu valor é

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det M=-18}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos o determinante da matriz de ordem 4 $M=\begin{bmatrix}2&-1&0&-2\\4&7&1&4\\9&3&0&-6\\3&0&3&12\\\end{bmatrix}$, devemos utilizar o Teorema de Laplace.

Consiste em escolhermos uma linha da matriz e calcularmos a soma do produto dos cofatores das linhas e colunas pelos elementos da fila escolhida.

O cofator de uma linha e coluna é dado pela fórmula: $C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det M_{ij}$, tal que $M_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após retirar a fila escolhida.

Escolhendo a coluna 3, nosso determinante será:

$\det M=0\cdot C_{13}+1\cdot C_{23}+0\cdot C_{33}+3\cdot C_{43}\\\\\\ \det M=C_{23}+3\cdot C_{43}$

Logo, devemos calcular apenas os cofatores $C_{23}$ e $C_{43}$. Temos que:

$C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix}2&-1&-2\\9&3&-6\\3&0&12\\\end{vmatrix}$

Este determinante pode ser calculado a partir da regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias. Isto é:

$C_{13}=(-1)^{2+3}\cdot\left|\begin{matrix}2& -1 &2 \\ 9&3 &-6 \\ 3& 0& 12\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}2 &-1 \\ 9 & 3\\ 3 &0 \end{matrix}\right.\\\\\\ C_{23}=(-1)^5\cdot(2\cdot3\cdot12+(-1)\cdot(-6)\cdot3+(-2)\cdot9\cdot0-((-1)\cdot9\cdot12+2\cdot(-6)\cdot0+2\cdot3\cdot3))$

Some os valores no expoente e multiplique os valores

$C_{23}=-(72+18-(-108-18))\\\\\\ C_{23}=-216$

Faça o mesmo para o cofator $C_{43}$.

$C_{43}=(-1)^{4+3}\cdot\begin{vmatrix}2&-1&-2\\4&7&4\\9&3&-6\\\end{vmatrix}\\\\\\C_{43}=(-1)^7\cdot(2\cdot7\cdot(-6)+(-1)\cdot4\cdot9+(-2)\cdot4\cdot3-((-1)\cdot4\cdot(-6)+2\cdot4\cdot3+(-2)\cdot7\cdot9))\\\\\\ C_{43}=-(-84-36-24-(24+24-126))\\\\\\ C_{43}=66$

Dessa forma, teremos

$\det M=-216+3\cdot66$

Multiplique os valores

$\det M=-216+198$

Some os valores

$\det M=-18$

Este é o determinante desta matriz.