Question

Sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as base A = {p1 = 4-3x, p2=3 – 2x} e B = {q1 = x + 2, q2 = 2x +3 } do conjuntos dos polinômios de grau menor ou igual a 1. Determine as coordenadas de p = x – 4 em relação a base A.

Answer 1

Analisando a composição da base e encontrando a combinação linear, temos que P pode ser escrito na base A como:

$[p]_A=\left[\begin{array}{c}5\\-8\end{array}\right]$

Explicação passo-a-passo:

Então queremso escrever o seguinte vetor:

$p=x-4$

Na base de A:

$A=\{p_1=4-3x;p_2=3-2x\}$

Então para isto p deve ser o resultado de uma combinação linear de p1 e p2:

$p=\alpha.p_1+\beta.p_2$

Onde α e β são as coordenadas de p na base de A. Assim ficamos com:

$p=\alpha.p_1+\beta.p_2$

$x-4=\alpha.(4-3x)+\beta.(3-2x)$

$x-4=4\alpha-3\alpha.x+3\beta-2\beta.x$

$x-4=(4\alpha+3\beta)+(-3\alpha-2\beta).x$

Para os dois lados desta equação serem iguais precisamos que:

$-3\alpha-2\beta=1$

$4\alpha+3\beta=-4$

Multiplicando a equação de cima por 4 e a de baixo por 3:

$-12\alpha-8\beta=4$

$12\alpha+9\beta=-12$

Agora basta somar a de cima com a de baixo:

$12\alpha-12\alpha+9\beta-8\beta=-12+4$

$\beta=-8$

E tendo este, podemos encontrar o outro:

$-3\alpha-2\beta=1$

$-3\alpha-2(-8)=1$

$-3\alpha+16=1$

$-3\alpha=-15$

$\alpha=5$

Assim temos que as coordenadas de p em A são 5 e -8, ou:

$[p]_A=\left[\begin{array}{c}5\\-8\end{array}\right]$