Question

sobre limite e continuidade, observe a funçao f(x) = { 2x-2 se x < 2
3 se x ≤ 2 e verifique se existe lim→2 f(x)

Answer 1

Temos a função:

$f(x)= \left \{ {{2x-2, \quad x\ \textless \ 2} \atop {3, \quad x\geq 2}} \right.$. 

Vamos verificar se existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:

Para isso fazemos $\lim_{x \to 2^{-}} f(x) \quad e \quad \lim_{x \to 2^{+}}f(x)$.

$\lim_{x \to 2^{-}} f(x)=\lim_{x \to 2^{-}} 2x-2=2\cdot2-24-2=2.$ Repare que no limite pela esquerda, usamos a função válida para $x\ \textless \ 2$. 

$\lim_{x \to 2^{+}}f(x)= \lim_{x \to 2^{+}} 3=3.$ Repare que no limite pela direita usamos a função válida para $x\geq2$.

Como, $\lim_{x \to 2^{-}} f(x) \neq \lim_{x \to 2^{+}}f(x)$, então $\lim_{x \to 2}f(x)$ não existe. 

Sobre continuidade, podemos afirmar que $f(x)$ é descontínua em $x=2$, pois $\lim_{x \to 2^{-}} f(x) \neq \lim_{x \to 2^{+}}f(x)$.