Question

Sobre fatorial. Simplifique as expressões abaixo:

n!
------
(n-p)!

Answer 1

Para que a expressão tenha sentido, devemos ter

$n\ge p,~~\text{ com }n,\,p \in\mathbb{N}.$


Aqui não há muito a ser feito. O que podemos fazer é expandir o fatorial e cancelar o fator comum $(n-p)!:$

$\dfrac{n!}{(n-p)!}\\\\\\ =\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots\cdot (n-p+1)\cdot (n-p)!}{(n-p)!}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{n!}{(n-p)!}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots\cdot (n-p+1) \end{array}}$


ou em notação de produtório,

$\boxed{\begin{array}{c} \dfrac{n!}{(n-p)!}=\displaystyle\prod\limits_{j=0}^{p-1}{(n-j)} \end{array}}$

_______________________________

Observe que a expressão fornece a quantidade de arranjos simples de $n$ elementos, tomados $p$ a $p:$

$\dfrac{n!}{(n-p)!}=A_{n,\,p}$