Question

Sobre binômio


Efetue a soma de todos os elementos da 12° linha do Triângulo de Pascal.
Dados: 2N
A)24
B)48
C)4.096
D)4.960

Se possível a resolução da resposta certa fico grato.. me ajudem por favor

Answer 1

Alternativa C é a correta ao fazer uso da formula binomial de newton

A décima segunda linha do triangulo de pascal corresponde à soma dos coeficientes de (x+a)¹².

Pela formula binomial temos que

$(x+a)^n=\sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{(n-k)!k!}x^{n-k}a^k$

Como teste vejamos $(x+a)^2$

$(x+a)^2=\sum_{k=0}^2 \dfrac{2!}{(2-k)!k!}x^{2-k}a^k$

$(x+a)^2= \dfrac{2!}{(2-0)!0!}x^{2-0}a^0+\dfrac{2!}{(2-1)!1!}x^{2-1}a^1+\dfrac{2!}{(2-2)!2!}x^{2-2}a^2$

$(x+a)^2= \dfrac{2}{2}x^{2}+\dfrac{2!}{1}xa+\dfrac{2}{2}a^2$

Vamos agora obter a soma correspondente à 12ª linha do triangulo de pascal.

Para isso, precisamos calcular apenas

$\sum_{k=0}^n \dfrac{n!}{(n-k)!k!}$

e colocando n=12:

$\sum_{k=0}^n \dfrac{12!}{(12-k)!k!}=\dfrac{12!}{12!\,0!}+\dfrac{12!}{11!\,1!}+\dfrac{12!}{10!\,2!}+... + \dfrac{12!}{0!\,12!}$

Ao calcular todos estes fatoriais (com ajudade uma calculadora) encontramos que $\sum_{k=0}^n \dfrac{12!}{(12-k)!k!}=4096$

Alternativa C