Sobre as figuras e elementos típicos do plano, tais como retas e circunferências, afirma-se:
I) Em (x - 1)² + (y - 1)² = 2, tem-se uma circunferência de centro (1,1) e de raio 2.
II) As retas “y + x – 1 = 0” e “2y – 2x +3 = 0” são perpendiculares.
III) As retas “y = 3x - 1” e “y = - x + 3” se interceptam no ponto (1,2).
IV) As circunferências “x² + y² = 1” e “(x - 1)² + y² = 4” se interceptam em (-1,0).
Soluções para a tarefa
As afirmativas II, III e IV estão corretas.
Vamos analisar cada afirmativa.
I) A equação reduzida de uma circunferência com centro em C = (x₀,y₀) e raio r é definida por (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².
Na equação (x - 1)² + (y - 1)² = 2, temos que o centro é o ponto (1,1) e o raio é √2.
Portanto, a afirmativa está errada.
II) O vetor normal da reta x + y - 1 = 0 é (1,1) e o da reta -2x + 2y + 3 = 0 é (-2,2).
Calculando o produto interno entre os dois vetores, obtemos 1.(-2) + 1.2 = -2 + 2 = 0.
As retas são perpendiculares e a afirmativa está correta.
III) Vamos verificar se o ponto (1,2) pertence a ambas as retas.
Substituindo o ponto em y = 3x - 1, obtemos:
2 = 3.1 - 1 = 3 - 1 = 2.
Substituindo o ponto em y = -x + 3, obtemos:
2 = -1 + 3 = 2.
Portanto, o ponto pertence a ambas as retas e a afirmativa está correta.
IV) Substituindo o ponto (-1,0) na circunferência x² + y² = 1, obtemos:
(-1)² + 0² = 1 + 0 = 1.
Substituindo o ponto na circunferência (x - 1)² + y² = 4, obtemos:
(-1 - 1)² + 0² = (-2)² + 0 = 4 + 0 = 4.
Portanto, a afirmativa está correta.