Question

Sobre Algebra Linear, Me ajudem Pf

Answer 1

Autovalores: 7 e 2

Autovetores: (1,2) e (-2,1)

Oi de novo querida, tudo bem?!

Primeiro calculamos esse determinante:

$det\left(\left[\begin{array}{cc}3-x&2\\2&6-x\end{array}\right]\right) = 0\\\\\\(3-x).(6-x) - 4 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 7~\lor x=2}$

Agora, nós substituímos cada raiz uma por vez na matriz e multiplicamos pelo autovetor coluna (x y).

Para x = 7:

$\left[\begin{array}{cc}3-7&2\\2&6-7\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]\Rightarrow \begin{cases}-4x+2y = 0\\2x-y = 0\end{cases}$

Portanto, 2x = y e o autoespaço será gerado pelo vetor (x,y) que ficará: (x,2x) => (1,2)

Para x = 2:

$\left[\begin{array}{cc}3-2&2\\2&6-2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]\Rightarrow \begin{cases}x+2y = 0\\2x+4y = 0\end{cases}$

Assim, 2x = -4y => x = -2y e o autoespaço será gerado pelo vetor (x,y) que ficará (-2y,y) = (-2,1)