Question

Sobre a progressão aritmética (a1, a2, ..., an, ...), n ∈ N*, sabe-se que a soma de seus dez primeiros termos é igual a 390 e que a50 = −139. Se ak, k ∈ N* é o menor termo positivo dessa progressão; então, k é igual a
a) 20
b) 8
c) 11
d) 15
e) 25

Answer 1

Vamos começar utilizando a equação da soma de termos da PA:

$S_{n}~=~\frac{(a_1+a_{n}).n}{2}\\\\\\S_{10}~=~\frac{(a_1+a_{10}).10}{2}\\\\\\390~=~(a_1+a_{10})~.~5\\\\\\a_1+a_{10}~=~\frac{390}{5}\\\\\\\boxed{a_1+a_{10}~=~78}~~\rightarrow~~1^a~equacao$

Vamos reescrever a10, utilizando a equação do termo geral:

$a_n~=~a_1+(n-1).r\\\\\\a_{10}~=~a_1+(10-1).r\\\\\\\boxed{a_{10}~=~a_1+9r}~~\rightarrow~~2^a~equacao$

Substituindo o a10 na 1ª equação pelo a10 da 2ª equação:

$a_1+a_{10}~=~78\\\\\\a_1+(a_1+9r)~=~78\\\\\\\boxed{2a_1+9r~=~78}~~\rightarrow~~3^a~equacao$

Agora, utilizando a equação do termo geral com o valor de a50 fornecido:

$a_n~=~a_1+(n-1).r\\\\\\a_{50}~=~a_1+(50-1).r\\\\\\-139~=~a_1+49r\\\\\\\boxed{a_1+49r~=\,-139}~~\rightarrow~~4^a~equacao$

Perceba que temos 2 equações com 2 incógnitas (3ª e 4ª equação), ou seja, temos um sistema de equações. Utilizando o método da substituição:

$Isolando~a_1~na~4^a~equacao\\\\a_1+49r~=\,-139\\\\\boxed{a_1~=~-139-49r}\\\\\\Substituindo~na~3^a~equacao\\\\2a_1+9r~=~78\\\\\\2~.~(-139-49r)+9r~=~78\\\\\\-278-98r+9r~=~78\\\\\\-89r~=~356\\\\\\\boxed{r~=~-4}\\\\\\a_1~=~-139-49r\\\\\\a_1~=~-139~-~49~.~(-4)\\\\\\\boxed{a_1~=~57}$

Queremos o menor termo positivo, logo, utilizando a equação do termo geral:

$a_k~=~a_1+(k-1).r\\\\\\a_k~>~0\\\\\\a_1+(k-1).r~>~0\\\\\\57+(k-1).(-4)~>~0\\\\\\57-4k+4~>~0\\\\\\-4k~>~-61\\\\\\k~<~\frac{61}{4}\\\\\\\boxed{k~<~15,25}\\\\\\Como~"k"~\acute{e}~Natural,~entao~o~menor~termo~positivo~acontece~para\\k~=~15$