Question

Sobre a hipérbole é correto afirmar que: * 1 ponto (y-2)²/ 36 = (x-1)²/64 = 1 a) F1 e F2 estão sobre o eixo x. b) F1 e F2 estão sobre o eixo y. c) F1 e F2 estão sobre r//x. d) F1 e F2 estão sobre s//y. 2 - A distância focal da hipérbole de equação de equação é igual a: x²/16 - y²/9 = 1 a) 10 b) 7 c) 25 d) 11

Answer 1

1 - Sobre a hipérbole é correto afirmar que:

d) F1 e F2 estão sobre s//y.

2 - A distância focal da hipérbole de equação de equação é igual a:

a) 10

Answer 2

(1) F1 e F2 estão sobre reta paralela ao eixo y (Alternativa D).

(2) A distância focal da hipérbole é 2c = 10 (Alternativa A).

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Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e seja 2c a distância entre eles. Uma hipérbole, em matemática, é o lugar geométrico do conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à F1 e F2 é fixa.

Sua equação reduzida é da forma:

$\frac{(x-x_{0})^{2} }{a^2} -\frac{(y-y_{0})^{2} }{b^2}=1$   (Hipérbole com focos sobre reta paralela ao eixo x.)

$\frac{(y-y_{0})^{2} }{a^2} -\frac{(x-x_{0})^{2} }{b^2}=1$   (Hipérbole com focos sobre reta paralela ao eixo y.)

onde ($x_{0}$,$y_{0}$) é o centro da hipérbole, $a$ é o semi-eixo na horizontal (metade da distância entre os dois ramos), e $b$ é o semi-eixo vertical. Note que $b$ pode ser maior que $a$.

Para calcular o foco e a distância focal usamos:

⇒ Hipérbole com focos sobre reta paralela ao eixo x.

   F1 = ($x_{0}$ - c, $y_{0}$) e F2 = ($x_{0}$ + c, $y_{0}$), onde c² = a² + b²

    Distância focal = 2c

⇒ Hipérbole com focos sobre reta paralela ao eixo y.

    F1 = ($x_{0}$ , $y_{0}$ - c)  e F2 = ($x_{0}$ , $y_{0}$ + c) , onde c² = a² + b²

    Distância focal = 2c

Voltando às questões:

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(1) Esta hipérbole tem focos sobre reta paralela ao eixo y. Basta comparar sua equação. Observemos também que seu centro é o ponto (1, 2). Assim, encontrando c primeiramente:

c² = a² + b²   ⇒  c² = 36 + 64  ⇒ c² = 100 ⇒ c = 10

Com isso,  F1 = (1, -8) e F2 = (1, 12), ou seja, F1 e F2 estão sobre reta paralela ao eixo y (reta x = 1). Logo, a afirmativa correta é o item D.

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(2) Esta hipérbole tem também focos sobre reta paralela ao eixo y. Observemos que seu centro é o ponto (0, 0). Encontrando c :

c² = a² + b²   ⇒  c² = 16 + 9  ⇒ c² = 25 ⇒ c = 5

Logo, a distância focal é 2c = 10 (Alternativa A).

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