Question

Sobre a função y =x ao quadrado -5x +6, responda:
A) sem fazer cálculos, podemos afirmar se a concavidade da parábola é para cima ou para baixo? Justifique
B) calcule o discriminante da função. Responda se a função tem duas raízes reais e distintas, uma raiz dupla ou não tem raiz real. Justifique
C) calcule as raízes das função
D) calcule as coordenadas do vértice

Answer 1

Seja a função do 2º grau: y = x² – 5x + 6

Seus coeficientes são:

• a = 1
• b = – 5
• c = 6

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Vamos responder o que cada alternativa pede:

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Letra A

Podemos afirmar que a concavidade é volta para cima, como um ''U''. Isso se dá pois o coeficiente a é positivo: a = 1 ⟹ a > 0.

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Letra B

Para calcular o discriminante, basta substituir os coeficientes na fórmula:

$\begin{array}{l}\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\\\sf\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6\\\\\sf\Delta=25-24\\\\\!\boxed{\sf\Delta=1}\\\\\end{array}$

Através do discriminante, para saber das condições em que as raízes desta função se encontram analisemos as regas:

$\small\begin{array}{l}\\\begin{array}{l}\bullet~\sf Se~\:\Delta > 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x'\,\neq\, x''\\\\\bullet~\sf Se~\:\Delta = 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x'= x''\\\\\bullet~\sf Se~\:\Delta < 0~\to~x'~e~\:x''\!\notin\mathbb{R}\end{array}\\\\\end{array}$

Assim, como Δ = 1 ⟹ Δ > 0, então a função tem duas raízes reais e distintas.

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Letra C

Podemos calcular as raízes da função pela fórmula de Bhaskara (lembrando que já calculamos o discriminante na letra b, Δ = 1):

$\begin{array}{l}\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}~\Rightarrow~x=\dfrac{5\pm1}{2}\\\\\sf x=\begin{cases}\sf x'=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\\sf x''=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{cases}\\\\\end{array}$

Assim as raízes desta função, são: x' = 2 e x'' = 3

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Letra D

Para calcular as coordenadas do vértice da parábola:

• V(xᵥ , yᵥ) ⟹ onde xᵥ =  abscissa do vértice e yᵥ = ordenada do vértice

Usaremos duas formulas: V(–b/2a , –Δ/4a)

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abscissa do vértice

$\begin{array}{l}\sf x_v=\dfrac{-b~~}{2a}\\\\\sf x_v=\dfrac{-(-5)~~}{2\cdot1}\\\\\sf x_v=\dfrac{5}{2}\\\\\end{array}$

ordenada do vértice

$\begin{array}{l}\sf y_v=\dfrac{-\Delta~~}{4a}\\\\\sf y_v=\dfrac{-(1)~~}{4\cdot1}\\\\\sf y_v=-\dfrac{1}{4}\\\\\end{array}$

Assim as coordenadas do vértice da parábola são:

V(5/2 , – 1/4)

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Att. Nasgovaskov

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