sobre a função real f(x) = 1-3^-x pode se afirmar
01) é decrescente em R
02) É uma função par
03) Tem conjunto-imagem ]-infinito,1[
04)tem como dominio [0,+infinito[
05) tem como função inversa f(x)= 1+log(x) base 3
a resposta é a 03 porem quero saber como chega até essa resposta
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Vamos lá.
Tem-se: sobre a função real f(x) = 1 - 3⁻˟ , pede-se para afirmar se são verdadeiras ou falsas várias opções que foram dadas.
Antes de mais nada, veja, Alesson, que é verdade que o conjunto-imagem da função dada vai de "-∞" até "1" (intervalo aberto, pois infinito nunca se sabe quanto é e "1" nunca será atingido).
Mas vamos fazer o seguinte: vamos fazer tudo bem passo a passo para você entender bem. Para isso, vamos comentar cada opção dada e dizer se ela é falsa ou verdadeira.
Então vamos ver.
01) f(x) é decrescente.
Resposta: afirmação FALSA, pois você deverá notar que à proporção que você for aumentando o valor de "x", a função f(x) também vai crescendo, o que caracteriza uma função CRESCENTE e não decrescente.
Por isso esta afirmação é FALSA.
02) f(x) é par.
Resposta: afirmação FALSA, pois você deverá notar que f(x) não é igual a f(-x), o que iria caracterizar uma função par. Quer ver substitua o "x" por qualquer número e depois substitua o "x" por esse mesmo número, mas com o sinal negativo. E você vai ver que o resultado não será igual. Portanto, como f(x) não é igual a f(-x), então a função não é par.
Por isso esta afirmação é FALSA.
03) Tem conjunto-imagem que está neste intervalo: ]-∞; 1[
Resposta: afirmação VERDADEIRA, pois note que o "x" poderá assumir qualquer valor. Isso quer dizer que o domínio da função são os reais.
Porém, o conjunto-imagem será o valor que f(x) assumirá em função dos valores assumidos por "x" .
Veja que se "x" assumir um valor bastante pequeno, digamos "-10", iríamos ter:
f(-10) = 1 - 3⁻⁽⁻¹⁰⁾
f(-10) = 1 - 3¹⁰ ----- note que 3¹⁰ = 59.049 --- Logo:
f(-10) = 1 - 59.049
f(-10) = - 59.048 <---- Este será o valor de f(x) para x = - 10
Agora vamos aumentando o valor de "x". Sairemos de "-10" e vamos aumentando, por exemplo, para x = -1; para x = 0; para x = 7, e para x = 10, apenas para vermos qual é a tendência de crescimento de f(x), que você vai ver que não (nunca) ultrapassará a "1". Veja:
- para x = "-1", teremos:
f(-1) = 1 - 3⁻⁽⁻¹⁾
f(-1) = 1 - 3¹
f(-1) = 1 - 3
f(-1) = - 2 <------ Este é o valor de f(x) para x = - 1
- para x = 0, teremos:
f(0) = 1 - 3⁻⁰
f(0) = 1 - 1/3⁰ ----- como 3⁰ = 1, teremos:
f(0) = 1 - 1/1 ----- como 1/1 = 1, teremos:
f(0) = 1 - 1
f(0) = 0 <----- Este é o valor de f(x) para x = 0
- para x = 7, teremos;
f(7) = 1 - 3⁻⁷ ------- veja que 3⁻⁷ = 1/3⁷ = 1/2.187. Assim:
f(7) = 1 - 1/2.187 ------ mmc = "2.187". Assim:
f(7) = (2.187*1 - 1*1)/2.187
f(7) = (2.187 - 1)/2.187
f(7) = (2.186)/2.187 --- ou apenas:
f(7) = 2.186/2.187 ----- note que este valor dá bem pertinho de "1", mas não chegará a "1". Então este é o valor de f(x) para x = 7.
- para x = 10, teremos:
f(10) = 1 - 3⁻¹⁰ ----- veja que 3⁻¹⁰ = 1/3¹⁰ = 1/59.049 . Assim:
f(10) = 1 - 1/59.049 ------ mmc = 59.049. Assim:
f(10) = (59.049*1 - 1*1)/59.049
f(10) = (59.048)/59.049 --- ou apenas:
f(10) = 59.048/59.049 ----- note que esta divisão também dará bem pertinho de "1", mas sem nunca chegar a "1". <--- Logo, este é o valor de f(x) para x = 10.
Assim, como você vê, o conjunto-imagem, que é o valor que f(x) vai assumindo em função dos valores assumidos por "x", NUNCA chegará a "1".
Daí o fato de ser VERDADEIRA esta afirmação, ou seja, de que o conjunto-imagem desta função será o intervalo ]-∞; 1[ .
04) Tem como domínio o intervalo [0; +∞[
Resposta: afirmação FALSA, pois, como já dissemos antes, o domínio da função serão todos os Reais (e não o intervalo acima), pois não há qualquer restrição a que "x" assuma qualquer que seja o valor.
Por isso esta afirmação é FALSA.
05) Tem como função inversa: f⁻¹ (x) = 1 + log₃ (x).
Resposta: afirmação FALSA.
Apenas para você concluir que esta afirmação é falsa, vamos tomar a função original, que é esta: f(x) = 1 - 3⁻˟ .
Agora vamos seguir os seguintes passos:
- trocaremos f(x) por "y", ficando:
y = 1 - 3⁻˟ ----- agora trocamos "y" por "x" e "x" por "y", ficando assim:
x = 1 - 3⁻ˠ ------- note que 3⁻ˠ = 1/3ˠ. Assim, ficaremos com:
x = 1 - 1/3ˠ ------ mmc = 3ˠ . Assim, utilizando-o em toda a expressão, ficaremos assim:
3ˠ * x = 3ˠ*1 - 1*1 ----- ou:
x*3ˠ = 3ˠ - 1 ------ passando "3ˠ" para o 1º membro, ficaremos assim:
x*3ˠ - 3ˠ = - 1 ----- vamos colocar "3ˠ" em evidência, ficando:
3ˠ*(x - 1) = - 1 ------vamos isolar "3ˠ", ficando:
3ˠ = -1/(x-1) ----- agora vamos aplicar logaritmo (na base 3) a ambos os membros, com o que ficremos:
log₃ (3ˠ) = log₃ (-1/(x-1)) ---- como o expoente passa multiplicando, teremos:
y*log₃ (3) = log₃ (-1/(x-1)) ---- como log₃ (3) = 1, ficaremos com:
y*1 = log₃ (-1/(x-1)) ----- ou, o que é a mesma coisa;
y = log₃ (-1/(x-1)) <---- Esta seria a função inversa.
Por isso esta afirmação é FALSA.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Tem-se: sobre a função real f(x) = 1 - 3⁻˟ , pede-se para afirmar se são verdadeiras ou falsas várias opções que foram dadas.
Antes de mais nada, veja, Alesson, que é verdade que o conjunto-imagem da função dada vai de "-∞" até "1" (intervalo aberto, pois infinito nunca se sabe quanto é e "1" nunca será atingido).
Mas vamos fazer o seguinte: vamos fazer tudo bem passo a passo para você entender bem. Para isso, vamos comentar cada opção dada e dizer se ela é falsa ou verdadeira.
Então vamos ver.
01) f(x) é decrescente.
Resposta: afirmação FALSA, pois você deverá notar que à proporção que você for aumentando o valor de "x", a função f(x) também vai crescendo, o que caracteriza uma função CRESCENTE e não decrescente.
Por isso esta afirmação é FALSA.
02) f(x) é par.
Resposta: afirmação FALSA, pois você deverá notar que f(x) não é igual a f(-x), o que iria caracterizar uma função par. Quer ver substitua o "x" por qualquer número e depois substitua o "x" por esse mesmo número, mas com o sinal negativo. E você vai ver que o resultado não será igual. Portanto, como f(x) não é igual a f(-x), então a função não é par.
Por isso esta afirmação é FALSA.
03) Tem conjunto-imagem que está neste intervalo: ]-∞; 1[
Resposta: afirmação VERDADEIRA, pois note que o "x" poderá assumir qualquer valor. Isso quer dizer que o domínio da função são os reais.
Porém, o conjunto-imagem será o valor que f(x) assumirá em função dos valores assumidos por "x" .
Veja que se "x" assumir um valor bastante pequeno, digamos "-10", iríamos ter:
f(-10) = 1 - 3⁻⁽⁻¹⁰⁾
f(-10) = 1 - 3¹⁰ ----- note que 3¹⁰ = 59.049 --- Logo:
f(-10) = 1 - 59.049
f(-10) = - 59.048 <---- Este será o valor de f(x) para x = - 10
Agora vamos aumentando o valor de "x". Sairemos de "-10" e vamos aumentando, por exemplo, para x = -1; para x = 0; para x = 7, e para x = 10, apenas para vermos qual é a tendência de crescimento de f(x), que você vai ver que não (nunca) ultrapassará a "1". Veja:
- para x = "-1", teremos:
f(-1) = 1 - 3⁻⁽⁻¹⁾
f(-1) = 1 - 3¹
f(-1) = 1 - 3
f(-1) = - 2 <------ Este é o valor de f(x) para x = - 1
- para x = 0, teremos:
f(0) = 1 - 3⁻⁰
f(0) = 1 - 1/3⁰ ----- como 3⁰ = 1, teremos:
f(0) = 1 - 1/1 ----- como 1/1 = 1, teremos:
f(0) = 1 - 1
f(0) = 0 <----- Este é o valor de f(x) para x = 0
- para x = 7, teremos;
f(7) = 1 - 3⁻⁷ ------- veja que 3⁻⁷ = 1/3⁷ = 1/2.187. Assim:
f(7) = 1 - 1/2.187 ------ mmc = "2.187". Assim:
f(7) = (2.187*1 - 1*1)/2.187
f(7) = (2.187 - 1)/2.187
f(7) = (2.186)/2.187 --- ou apenas:
f(7) = 2.186/2.187 ----- note que este valor dá bem pertinho de "1", mas não chegará a "1". Então este é o valor de f(x) para x = 7.
- para x = 10, teremos:
f(10) = 1 - 3⁻¹⁰ ----- veja que 3⁻¹⁰ = 1/3¹⁰ = 1/59.049 . Assim:
f(10) = 1 - 1/59.049 ------ mmc = 59.049. Assim:
f(10) = (59.049*1 - 1*1)/59.049
f(10) = (59.048)/59.049 --- ou apenas:
f(10) = 59.048/59.049 ----- note que esta divisão também dará bem pertinho de "1", mas sem nunca chegar a "1". <--- Logo, este é o valor de f(x) para x = 10.
Assim, como você vê, o conjunto-imagem, que é o valor que f(x) vai assumindo em função dos valores assumidos por "x", NUNCA chegará a "1".
Daí o fato de ser VERDADEIRA esta afirmação, ou seja, de que o conjunto-imagem desta função será o intervalo ]-∞; 1[ .
04) Tem como domínio o intervalo [0; +∞[
Resposta: afirmação FALSA, pois, como já dissemos antes, o domínio da função serão todos os Reais (e não o intervalo acima), pois não há qualquer restrição a que "x" assuma qualquer que seja o valor.
Por isso esta afirmação é FALSA.
05) Tem como função inversa: f⁻¹ (x) = 1 + log₃ (x).
Resposta: afirmação FALSA.
Apenas para você concluir que esta afirmação é falsa, vamos tomar a função original, que é esta: f(x) = 1 - 3⁻˟ .
Agora vamos seguir os seguintes passos:
- trocaremos f(x) por "y", ficando:
y = 1 - 3⁻˟ ----- agora trocamos "y" por "x" e "x" por "y", ficando assim:
x = 1 - 3⁻ˠ ------- note que 3⁻ˠ = 1/3ˠ. Assim, ficaremos com:
x = 1 - 1/3ˠ ------ mmc = 3ˠ . Assim, utilizando-o em toda a expressão, ficaremos assim:
3ˠ * x = 3ˠ*1 - 1*1 ----- ou:
x*3ˠ = 3ˠ - 1 ------ passando "3ˠ" para o 1º membro, ficaremos assim:
x*3ˠ - 3ˠ = - 1 ----- vamos colocar "3ˠ" em evidência, ficando:
3ˠ*(x - 1) = - 1 ------vamos isolar "3ˠ", ficando:
3ˠ = -1/(x-1) ----- agora vamos aplicar logaritmo (na base 3) a ambos os membros, com o que ficremos:
log₃ (3ˠ) = log₃ (-1/(x-1)) ---- como o expoente passa multiplicando, teremos:
y*log₃ (3) = log₃ (-1/(x-1)) ---- como log₃ (3) = 1, ficaremos com:
y*1 = log₃ (-1/(x-1)) ----- ou, o que é a mesma coisa;
y = log₃ (-1/(x-1)) <---- Esta seria a função inversa.
Por isso esta afirmação é FALSA.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Alesson10:
Muito Obrigado adjemir.
Disponha sempre.
Bom, está faltando apenas elegê-la como a melhor, não? Um abraço. Adjemir.
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