Question

Sobre a função f(x, y, z) = x.sen(y + 2z), leia as afirmações que seguem.

I. fx = sen(y + 2z).
II. fy = - cos(y + 2z).
III. fz = x.cos(y + 2z).
IV. fzz = 4x.sen(y + 2z).

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
I apenas.

Alternativa 2:
II e III apenas.

Alternativa 3:
I, II e III apenas.

Alternativa 4:
I, III e IV apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV

Answer 1

Alternativa 1) I apenas.

Explicação

Dada a função:

$\: \: \: \: \: \sf \bullet \: \: \: f(x,y,z) = x. \sin(y + 2z)$

Temos que julgar algumas afirmações e descobrir quais são verdadeiras.

• I. fx = sen(y + 2z).

A primeira informação trata-se da derivada parcial da função em relação a x. Para comprovar vamos fazer a derivação da mesma.

$\sf \frac{ \partial}{ \partial x}f(x,y,z) \: \to \: \frac{ \partial}{ \partial x} (x. \sin(y + 2z) )$

Como a derivada é em relação a x, podemos dizer então que a expressão que contém apenas a função y e z é uma constante, ou seja, torna-se possível a aplicação da propriedade da derivada de uma constante multiplicada por uma função.

$\sf \sin(y + 2z). \frac{ \partial}{ \partial x}(x) \: \: \to \: \: \sin(y + 2z).1$

Portanto, concluimos que a primeira afirmação sobre a função está correta.

• II. fy = - cos(y + 2z).

Agora ao invés de ser em relação a x é em relação a y, isto é, já podemos concluir que a expressão (x) é uma constante nesse caso.

$\sf x. \frac{ \partial}{ \partial y} \sin(y + 2z) \: \to \: \: x.cos(y + 2z). \frac{ \partial}{ \partial y}(y + 2z) \\ \\ \sf x.cos(y + 2z).1$

Concluímos que a afirmação está errada.

• III. fz = x.cos(y + 2z).

Em relação a variável z é análogo a variável y, pelo fato de (x) ser uma constante.

$\sf x. \frac{ \partial}{ \partial z} \sin(y + 2z) \: \to \: x.cos(y + 2z). \frac{ \partial}{ \partial z}(y + 2z) \\ \\ \sf x.cos(y + 2z) .(0 + 2) \: \: \to \: \: 2x.cos(y + 2z)$

Concluímos que a afirmação está errada.

• IV. fzz = 4x.sen(y + 2z).

Agora a derivada é em relação a z duas vezes, para isso basta pegar anterior e derivar mais uma vez.

$\sf \frac{ \partial^{} }{ \partial z {}^{} } (2x. \cos(y + 2z) \: \: \to \: \: 2x.( - \sin(y + 2z)). \frac{ \partial}{ \partial z}.(y + 2z) \\ \\ \sf - 2x. \sin(y + 2z).(0 + 2) \: \: \to \: \: \boxed{\sf- 4x. \sin(y + 2z)}$

Concluímos que a afirmação está errada.

Espero ter ajudado.