Question

Sobre a função f ( x ) = m x + n f(x)=mx+n, sabe-se que f ( − 1 ) = 12 f(−1)=12 e f ( 2 ) = f(2)=3. Outra função definida por g ( x ) = a x + b g(x)=ax+b intercepta f ( x ) f(x) em A ( 2 , 3 ) A(2,3) e passa por B ( − 1 , − 3 ) B(−1,−3). A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação f ( x ) ⋅ g ( x ) > 0 f(x)⋅g(x)>0 é

Answer 1

Olá.
Primeiro temos

f(x)=mx+n

se f(-1)=12, então, substituindo na equação acima temos:
12=m.(-1)+n
-m+n=12

se f(2)=3, então
3=2m+n
2m+n=3

Isso forma um sistema:
A)-m+n=12 
B)2m+n=3
multiplicando A por -1, temos:
A)m-n=-12
B)2m+n=3
somando as duas equações, fica:
3m=-9
m=-3
substituindo m na primeira equação, fica:
-(-3)+n=12
3+n=12
n=9

Descobrimos que m=-3 e n=9. Logo f(x)=-3x+9

Passando para a segunda função, temos que a função g(x) passa por B(-1,-3). Logo, podemos substituir o x e o y sem problemas na função, já que esses pontos obedecem ela.
Substituindo, temos:
g(x)=ax+b
-3=-a+b

Se as duas funções se interceptam no ponto A(2,3), isso quer dizer que a função de 2 no ponto A é igual para ambos os casos. Temos, portanto:
f(2)=g(2) (as funções, ou seja, o Y são as mesmas, para x=2)
mx+n=ax+b
-3.2+9=a.2+b
2a+b=3

Obtivemos novamente um sistema:
A)2a+b=3
B)-a+b=-3, multiplicando B por 2, temos:

A)2a+b=3
B)-2a+2b=-6

somando as duas equações, obtemos:
3b=-3
b=-1

substituindo b na equação A, conseguimos:
2a-1=3
2a=4
a=2

logo, a função g(x)=ax+b é igual a g(x)=2x-1

Se f(x).g(x)>0, então (-3x+9).(2x-1)>0
temos 2 casos para isso ser verdade. O primeiro é os dois serem positivos, o segundo é de os dois serem negativos

1º caso:
-3x+9>0       e        2x-1>0
-3x>-9                     2x>1
3x<9                        x>1/2 
x<3

1/2<x<3  x={1,2}

2º caso:
-3x+9<0     e        2x-1<0
-3x<-9                  x<1/2
3x>9
x>3

como x não pode ser maior que 3 e menor que 1/2 ao mesmo, tempo, a regra só se aplica ao primeiro caso

No 1º caso, os números inteiros que satisfazem a equação são 1 e 2

Logo, S={x ∈ Z | x=1, x=2}

Espero tê-la ajudado.