Question

Sobre a equação abaixo, afirma-se:

Elaborado pelo Professor, 2019

I – A figura é uma parábola.
II – O centro da figura é (1, - 2).
III – Os focos da figura são (1; - 3,732) e (1; - 0,268).
IV – A excentricidade da figura é 0,866.

Estão corretas:

Answer 1

Resposta:

Estão corretas as opções: II, III, IV

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

4x^2 + y^2 -8x +4y +4= 0

4x^2 -8x + y^2 +4y +4= 0

(2x)^2 -2.2x.2 + 2^2 - 2^2 + y^2 +2.y.2 + 2^2= 0

(2x-2)^2 + (y+2)^2 -4 = 0

(2x-2)^2 + (y+2)^2 = 4

[2(x-1)]^2 + [2(y/2 + 1)]^2 = 4

4.(x-1)^2 + 4.(y/2 +1)^2 = 4 (div. por 4)

(x-1)^2 + (y/2 +1)^2 = 1

[(x-1)/1]^2 + [(y+2)/2]^2 = 1

[(x-1)/1]^2 + [(y-(-2))/2]^2 = 1

Ou seja, essa é uma equação de uma elipse, cujo centro (xo, yo) = (1,-2), e semi-eixos em x: b=1 e em y: a=2

Nota: em geral, a>=b na equação da elipse.

O distancia dos focos F1 e F2 ao centro da elipse são dados por:

F1=F2=raiz(a^2 - b^2) => raiz(2^2 - 1^2) => raiz(4-1) => raiz(3)

O semi-eixo maior "a" esta na direção do eixo y, logo os focos estão localizados na linha vertical que passa por xo= 1.

Assim, as coordenadas dos focos F1 e F2 são:

F1=(1, -2+raiz(3)) ~ (1, -0,268)

F2=(1, -2-raiz(3)) ~ (1, -3,732)

A excentricidade "e" da elipse é calculada como c/a, onde c=raiz(a^2 - b^2) => raiz(3).

Logo,

e= raiz(3)/2 ~ 0,866

Portanto, estão corretas as opções: II, III, IV

Blz?

Abs :)