Question

Sob quais condições o polinômio assume valor numérico igual a zero?Escreva as formas fatoradas dos termos do polinômio a seguir e verifique se é trinômio quadrado perfeito:
25x^4+10x²+1

Answer 1

Resposta:

1. Dentro do conjunto dos reais, esse polinômio nunca assume o valor numérico igual a zero.

2. $25x^4+10x^2+1$ na forma fatorada é $(5x^{2}+1 )^2$. Portanto, é um trinômio quadrado perfeito.

Explicação passo-a-passo:

Oi! Vamos dividir esse exercício em duas partes.

1. "Sob quais condições o polinômio assume valor numérico igual a zero?"

Para saber disso, precisamos igualar o polinômio a zero e descobrir suas raízes.

$25x^4+10x^2+1=0~\rightarrow~y=x^2\\\\25y^2+10y+1=0$

Utilizando a fórmula de Bhaskara.

$\boxed{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~~\rightarrow~~\Delta=b^{2}-4ac}\\\\\\\Delta=10^2-4\cdot25\cdot1=100-100=0\\\\y=\dfrac{-10\pm\sqrt{0}}{2\cdot25}\\\\\\y=\dfrac{-10\pm0}{100}\\\\\\y_1=\dfrac{-10+0}{100}=-\dfrac{1}{10}\\\\\\y_2=\dfrac{-10-0}{100}=-\dfrac{1}{10}$

Retomando a equação inicial...

$y=x^2\\\\-\dfrac{1}{10}=x^2\\\\x=\sqrt{-\dfrac{1}{10}}$

Portanto, essa equação não possui solução real. Então, dentro do conjunto dos reais, esse polinômio nunca assume o valor numérico igual a zero.

2. "Escreva as formas fatoradas dos termos do polinômio a seguir e verifique se é trinômio quadrado perfeito."

Para fazermos isso temos que lembrar do produto notável:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Vamos encaixar o nosso trinômio ai.

$25x^4+10x^2+1\\\\\sqrt{25x^4}=5x^2\rightarrow{a}\\\\\sqrt{1}=1\rightarrow{b}\\\\10x^2=2\cdot5x^2\cdot1$

Então, $25x^4+10x^2+1$ na forma fatorada é $(5x^{2}+1 )^2$. Portanto, é um trinômio quadrado perfeito.

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️