Question

Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo segundo a função:

Q(t)= 128•(0,5)^0,5t

Onde Q(t) é a quantidade, em mg (miligramas), que o resta no organismo, após t horas. Determine o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve no máximo 2mg desse antibiótico.

Answer 1

Resposta:

12 horas.

Explicação passo-a-passo:

Deve-se impor que Q(t) seja menor ou igual a 2, pois é o valor máximo do antibiótico que a pessoa pode ter no organismo, ou seja:

$2\geq 128*0,5^{0,5{t}}$

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos:

$ln 2 \geq ln (128*0,5^{0,5{t}})$

E pela propriedade:

$ln(a*b) = ln(a) + ln(b)$

Tem-se, então:

$ln 2 \geq ln 128 + ln(0,5^{0,5{t}})$

$ln 2 \geq ln(2^{7}) + ln(0,5^{0,5{t}})$

Agora, usando a propriedade:

$ln(x^{y}) = y*lnx$

Vem que:

$ln2 \geq 7*ln 2 + 0,5{t}ln(\frac{1}{2})$

Por último, usando a propriedade

$ln(\frac{c}{d}) = ln(c) - ln(d)$

e o fato de que o logaritmo de 1 em qualquer base é 0, finalizamos:

$ln2 \geq 7*ln 2 + 0,5{t}(ln1 - ln2)\\-6*ln2 \geq 0,5{t}(0-ln2)\\ -6*ln2 \geq -0,5{t}ln2\\ -6\geq -0,5{t}\\6 \leq 0,5{t}$

Portanto:

$12 \leq t$

Ou seja, pelo menos 12 horas são necessárias.