Sob certas condições de temperatura, os biólogos acreditam que o número de baratas de certa região dobre, no verão, a cada 20 dias. Estima-se que a população atual de baratas nessa região seja da ordem de 5.000. Considerando o mês com 30 dias e supondo que tais condições sejam mantidas, determine:
A)a população de baratas na região, daqui a 1 mês e daqui a 2 meses.
B)o tempo mínimo necessário (em dias) para que a população de baratas na região quintuplique.
(Use as aproximações: √2 = 1,4 e log 5 = 0.68)
Me ajudem por favor!!
Soluções para a tarefa
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Sabendo que duplica a colônia de baratas a cada 20 dias, então ficamos com esta equação:
20 = 2 * n, sendo n a quantidade de barata. Ok!
com isso pegamos um fator qualquer f e admitimos serem 10 dias, até aí tudo bem, porém esse fator deve ser multiplicado por si próprio para ser igual aos vinte dias.
2*n = f² *n ⇒ f² = 2 ⇒ f = √2.
tomando por base os dados e utilizando o calculo anterior, temos como resolver a letra A.
façamos a Função: 5000×(√2)^x, sendo X o número n de dias dividido por 10. Por que o fator f representa 10 dias ⇒ √2 que multiplica o número inicial.
sendo assim após 1 mês = 30 dias, temos X = 3. logo:
5.000×(√2)^3 = 14.000
e após 2 meses = 60 dias, temos X = 6, logo:
5000×(√2)^6 = 5000*2^3 = 40.000.
Para a letra b temos que usar as propriedades de logaritmos:
a questão quer o quíntuplo do inicial.
então 5000×(√2)^x = 25000.
log de b na base a = x ⇔ a× = b.
(√2)^(x) = 25000/5000 ⇒ (√2)^(x) = 5 ⇒ ((√2)^x)² = (5)², só pra tirar a raiz mesmo.
log₂ 25 = X ⇒ passando para a base 10 para facilitar o calculo.
(log 5²)/(log 2) = X 2*log 5/log 2 = X 2*0,68/log(10/5) = X
1,36/(log10 - log 5) = X 1,36/(1 - 0,68) = X 1,36/0,32 = X X ≈ 4,3
sabendo que X representa n dias dividido por 10.
então o número de dias é n = 43.
20 = 2 * n, sendo n a quantidade de barata. Ok!
com isso pegamos um fator qualquer f e admitimos serem 10 dias, até aí tudo bem, porém esse fator deve ser multiplicado por si próprio para ser igual aos vinte dias.
2*n = f² *n ⇒ f² = 2 ⇒ f = √2.
tomando por base os dados e utilizando o calculo anterior, temos como resolver a letra A.
façamos a Função: 5000×(√2)^x, sendo X o número n de dias dividido por 10. Por que o fator f representa 10 dias ⇒ √2 que multiplica o número inicial.
sendo assim após 1 mês = 30 dias, temos X = 3. logo:
5.000×(√2)^3 = 14.000
e após 2 meses = 60 dias, temos X = 6, logo:
5000×(√2)^6 = 5000*2^3 = 40.000.
Para a letra b temos que usar as propriedades de logaritmos:
a questão quer o quíntuplo do inicial.
então 5000×(√2)^x = 25000.
log de b na base a = x ⇔ a× = b.
(√2)^(x) = 25000/5000 ⇒ (√2)^(x) = 5 ⇒ ((√2)^x)² = (5)², só pra tirar a raiz mesmo.
log₂ 25 = X ⇒ passando para a base 10 para facilitar o calculo.
(log 5²)/(log 2) = X 2*log 5/log 2 = X 2*0,68/log(10/5) = X
1,36/(log10 - log 5) = X 1,36/(1 - 0,68) = X 1,36/0,32 = X X ≈ 4,3
sabendo que X representa n dias dividido por 10.
então o número de dias é n = 43.
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