Question

Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a equação $p (t) = \frac{1}{(1+ae^k^t)}$ em que p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são constantes positivas.
a) Encontre o limite $\lim_{t \to \infty} p_(t)$
b) Encontre a taxa de propagação do boato.

Answer 1

a)$p(t)= \frac{1}{1+ae^{kt}}\\\\ \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+ae^{kt}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+ae^{\infty}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{1+\infty} = \boxed{0}$
Significa que com o passar o tempo, o gráfico dessa função tende a zero, ou seja, quanto mais tempo o boato fica desinteressante, mais ele desaparece.

b)A taxa de variação ocorrerá de acordo com a análise sua derivada primeira
$-\frac{d}{dt} (\frac{1}{1+e^t})$

Fazendo os cálculos utilizando a regra da cadeia e substituições conseguimos achar:
$\frac{d}{dt} (\frac{1}{1+e^t})= -\frac{e^t}{(1+e^t)^2}$

Como sabe-se que a função quadrática negativa tem concavidade para baixo, espera-se que a taxa de propagação cresça exponencialmente até sua primeira metade, e decresça na mesma proporção na metade restante

Ik_Lob