Question

Só pra ter um parâmetro se eu acertei, ou não :)

 

 

 

Usar integrais duplas para calcular a área da região R limitada por:

 

$2y=16-x^2$

 

$2x+y=2$

Answer 1

A área dessa figura pode ser obtida usando, a seguinte integral:
$A = \[\int \int_{R} dA\]$

A partir de da figura R podemos determinar os limites da integral, então vamos desenhar essa região e determinar os pontos de intersecção das funções.

Isolando y nas duas equações:
$2y=16-x^2 \\ y = \frac{16-x^2}{2} \\ y = 8 - \frac{x^2}{2}$
$2x+y=2 \\ y = 2-2x$

Assim, igualamos as equações:
$2-2x = 8- \frac{x^2}{2} \\ - \frac{x^2}{2} +2x +8-2=0 \\ - \frac{x^2}{2} +2x +6=0$

Encontramos as raízes:
$x_{1} = \frac{-2+ \sqrt{2^2-4.( -\frac{1}{2} ).6} }{2.(-\frac{1}{2})} \\ x_{1} = \frac{-2+ \sqrt{16} }{-1} \\ x_{1} = \frac{2}{-1} \\ x_{1} = -2 \\ x_{2} = \frac{-2- \sqrt{2^2-4.( -\frac{1}{2} ).6} }{2.(-\frac{1}{2})} \\ x_{2} = \frac{-2- \sqrt{16} }{-1} \\ x_{2} = \frac{-6}{-1} \\ x_{2} = 6$

Agora vamos para os limites da integral que podem ser visto pelo gráfico na imagem, onde tem como liimite inferior em y de y = 2 - 2x e superior de y = 8 - x^(2)/2.

$\[A =\int_{-2}^{6} \int_{2-2x}^{8-\frac{x^2}{2}} dydx\]\\A =\[\int_{-2}^{6} (8-\frac{x^2}{2}-2+2x) dx\] \\A =\[\int_{-2}^{6} (-\frac{x^2}{2}+6+2x) dx\] \\A =\[-\frac{1}{6}(6^3 - (-2)^3)+6(6+2)+(6^2-(-2)^2)\]$
$A =\[-\frac{1}{6}(6^3 +8)+6.8+(36-4)\] \\ A = 42,667$