Question

SISTEMAS LINEARES - RESUMO

Equação linear: É Toda equação da forma: , onde são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas e b é um número real chamado termo independente.

OBS: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.


Sistema Linear: Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

Solução do Sistema Linear: Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados que é, simplesmente, solução de todas as equações do sistema.
Regra de Cramer: Todo sistema normal tem uma única solução dada por , onde , D = detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, o sistema: .

Solução: Temos: .
OBS: A regra de Cramer não é o melhor método. Em termos computacionais fica muito lento para um número de equações muito elevado. Além disso, para o sistema 3 x 3, por exemplo, o método não funciona. Ele representa dois planos paralelos e um terceiro que intersecta ambos.

O sistema apresentaria soluções da forma indicando uma indeterminação. Mas na verdade ele é impossível. A representação dessa situação são três planos da seguinte forma: dois planos paralelos e um terceiro que intersecta ambos.
Discussão de um Sistema Linear: Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:
- Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única.
- Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).

Observações:

1) Se o , o sistema será SPD e portanto teremos uma única solução para o problema.
2) Se o , sistema poderá ser SPI ou SI. A resolução pelo Escalonamento (visto a seguir) garante de forma satisfatória.


1. Resolva o sistema abaixo: 2x - y + z = 5 3x + 2y - 4z = 0 x - 2y + z = 2


2. Resolva o sistema abaixo: x - 2y + z = 3 2x + y + z = 1 3x - y + 2z = 2


3. Resolva o sistema abaixo: x + y + z = 6 2x + y - 2z = -1 3x + 2y - z = 5

Answer 1

Resposta:

Questão 1:

S{(2, 1, 2)}, SPD (Sistema é possível e determinado)

Questão 2:

z = é um número real, SPI (Sistema pode ser possível e indeterminado)

Questão 3:

Não tem solução SI

Explicação passo a passo:

Questão 1:

2x - y + z = 5

3x + 2y - 4z = 0

x - 2y + z = 2

x - 2y + z = 2

- 2 (x - 2y + z = 2) =

   - 2x + 4y - 2z = - 4

      2x - y + z = 5

           3y - z = 1

- 3 (x - 2y + z = 2) =

     - 3x + 6y - 3z = - 6

        3x + 2y - 4z = 0

                 8y - 7z = -6

 8 (3y - z = 1)

- 3 (8y - 7z = -6)

24y - 8z = 8

- 24y + 21z = 18

            13z = 26

                 z = 26/13

                  z = 2

3y - z = 1

3y - 2 = 1

3y = 1 + 2

3y = 3

y = 3/3

y = 1

x - 2y + z = 2

x - 2*1 + 2 = 2

x - 2 + 2 = 2

x = 2 + 2 - 2

x = 2

S{(2, 1, 2)}

SPD

Questão 2:

x - 2y + z = 3

2x + y + z = 1

3x - y + 2z = 2

- 2 (x - 2y + z = 3)

    - 2x + 4y - 2z = - 6

       2x + y + z = 1

           5y - z = - 5

- 3 (x - 2y + z = 3)

   - 3x + 6y - 3z = -9  

      3x - y + 2z = 2

             5y - z = - 7

5y - z = - 5

5y - z = - 7

z = K,    K∈ R

SPI

Questão 3:

 x + y + z = 6

2x + y - 2z = -1

3x + 2y - z = 5

- 2 (x + y + z = 6)

- 2x - 2y - 2z = - 12

  2x + y - 2z = -1

         - y - 4z = - 13

- 3 (x + y + z = 6)

- 3x - 3y - 3z = - 18

   3x + 2y - z = 5

         - y - 4z = - 13

- y - 4z = - 13

- y - 4z = - 13

Sistema impossível/Sem solução

SI

Boa sorte