Question

Sistemas exponenciais ,Help? B e C

Answer 1

b)

$\begin{cases}x+y=8\\2^{x}-2^{y}=60\end{cases}$

Isolando y na primeira equação:

$x+y=8~~~~\therefore~~~~\boxed{y=8-x}$

Substituindo y na segunda equação:

$2^{x}-2^{y}=60\\2^{x}-2^{8-x}=60$

Transformando 2^(8 - x) em fração:

$2^{x}-\dfrac{2^{8}}{2^{x}}=60$

Multiplicando todos os membros por 2^x:

$2^{x}\cdot2^{x}-2^{x}\cdot\dfrac{256}{2^{x}}=2^{x}\cdot60$

Simplificando:

$(2^{x})^{2}-256=60(2^{x})\\(2^{x})^{2}-60(2^{x})-256=0$

Resolvendo a equação do segundo grau com variável 2^x:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-60)^{2}-4\cdot1\cdot(-256)\\\Delta=3600+1024\\\Delta=4624\\\sqrt{\Delta}=68\\\\2^{x}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-60)\pm68}{2\cdot1}=\dfrac{60\pm68}{2}=30\pm34$

Raízes:

$2^{x}=30+34\\2^{x}=64\\2^{x}=2^{6}\\x=6\\\\2^{x}=30-34\\2^{x}=-4$

Descartamos a segunda raiz, ficando com x = 6

$x+y=8\\\6+y=8\\y=8-6\\y=2$


$\boxed{\boxed{S=(6,2)}}$
__________________________

c)

$\begin{cases}(\sqrt{7})^{x}=49^{y-2x}\\2^{y-x}=1024\end{cases}$

Simplificando a primeira equação:

$(\sqrt[2]{7^{1}})^{x}=49^{y-2x}\\(7^{1/2})^{x}=(7^{2})^{y-2x}\\7^{x/2}=7^{2y-4x}$

Bases iguais, iguale os expoentes:

$\frac{x}{2}=2y-4x\\\\x=4y-8x\\\\4y-9x=0$

Simplificando a segunda equação:

$2^{y-x}=1024\\2^{y-x}=2^{10}\\y-x=10$

$\begin{cases}-9x+4y=0\\-x+y=10\end{cases}$

Multiplicando a segunda equação por -4:

$\begin{cases}-9x+4y=0\\4x-4y=-40\end{cases}$

Somando as equações:

$-9x+4x+4y-4y=0-40\\-5x=-40\\5x=40\\x=40/5\\x=8$

Achando y:

$-x+y=10\\-8+y=10\\y=10+8\\y=18\\\\\\\boxed{\boxed{S=\{8,18\}}}$