Question

SISTEMA DE EQUAÇÃO:

$\left \{ {{x^2 - y^2 = 11} \atop {log x - log y = 1}} \right.$
$\left \{ {{log(x+y)=0} \atop {2.logx=log(y+1)}} \right.$

log3 x = y = log 9 (2x - 1)

* Passo a passo, heim ? 
* Por favor.
* Obrigada,
* Dani.

Exercicios - Livro Saber Matemática - P. 125

Answer 1

a)

$\left \{ {{x^2-y^2=11} \atop {logx-logy=1}} \right. \\ \\ logx-logy=1\Rightarrow log(\frac{x}{y})=1 \Rightarrow \frac{x}{y}=10 \Rightarrow \boxed{x=10y}\\ \\ (10y)^2-y^2=11\\ \\ 100y^2-y^2=11\\ \\ 99y^2=11\\ \\ y^2=\frac{11}{99}\\ \\y^2=\frac{1}{9}\\ \\ y=\pm\frac{1}{3}$

O resultado negativo deve ser descartado, portanto $y=\frac{1}{3}$

Substituindo:

$x^2-(\frac{1}{3})^2=11\\ \\x^2-\frac{1}{9}=11\\ \\ x^2=11+\frac{1}{9}\\ \\ x^2=\frac{100}{9}\\ \\ x=\frac{10}{3}$

b)

$log(x+y)=0\Rightarrow \boxed{x+y=1}\\ \\ 2logx=log(y+1)\\ \\ logx^2=log(y+1)\\ \\ \boxed{x^2=y+1\\}\\ \\ x^2=1-x+1\\ \\ x^2+x-2=0\\ \\ S=\{-2,1\}$

Desprezando a solução negativa:

x=1
y=0

Answer 2

a) Lembre-se que, $\text{log}_b~a-\text{log}_b~c=\text{log}_b~\left(\dfrac{a}{c}\right)$.

Deste modo, sendo $\text{log}~x-\text{log}~y=1$, temos $\text{log}~\left(\dfrac{x}{y}\right)=1$.

Por outro lado, $\text{log}_b~a=c$, implica que, $b^{c}=a$.

Com isso, se $\text{log}~\left(\dfrac{x}{y}\right)=1$, temos $\dfrac{x}{y}=10$, 

Daí, $x=10y$ e $x^2=(10y)^2~~(i)$.

Mas, sabemos que, $x^2-y^2=11$, ou seja, $x^2=11+y^2~~(ii)$.

Igualando (i) e (ii):

$(10y)^2=11+y^2$

$100y^2=11+y^2~~\Rightarrow~~99y^2=11~~\Rightarrow~~y^2=\dfrac{1}{9}$

$y=\sqrt{\dfrac{1}{9}}~~\Rightarrow~~\boxed{y'=\dfrac{1}{3}}$ e $y"=-\dfrac{1}{3}$ 
(não serve)

$x=10y~~\Rightarrow~~x=10\cdot\dfrac{1}{3}~~\Rightarrow~~\boxed{x=\dfrac{10}{3}}$.

$S=\{\frac{10}{3},\frac{1}{3}\}$.



b) Lembrando que, $\text{log}_b~a=c~~\Rightarrow~~b^{c}=a$, se $\text{log}~(x+y)=0$, 

Temos $x+y=10^0$, ou seja, $x+y=1~~(i)$, donde, $x=1-y$.

Mas, também sabemos que, $2\cdot\text{log}~x=\text{log}~(y+1)$.

Lembre-se que, $n\cdot\text{log}_a~b~~\Rightarrow~~\text{log}_a~(b^n)$.

Deste modo, como $2\text{log}~x$, temos $\text{log}~x^2$.

Com isso, $\text{log}~x^2=\text{log}~(y+1)$, donde, $x^2=y+1$ e $x=\sqrt{y+1}~~(ii)$.

Igualando (i) e (ii):

$1-y=\sqrt{y+1}~~\Rightarrow~~(1-y)^2=(\sqrt{y+1})^2~~\Rightarrow~~1-2y+y^2=y+1~~\Rightarrow~~y^2-3y=0$.

$y(y-3)=0~~\Rightarrow~~y'=0$ e $y"=3$


Para $y=0$, obtemos $x=1-0=1$.

Para $y=3$, obtemos $x=1-3=-2$ (não serve).

$S=\{1,0\}$.