Question

SISTEMA COM RESOLUÇÃO DE EQUAÇAO DO 2° GRAU

1° Exercício: Resolva os sistemas abaixo, encontrando as variáveis x e y.

a)  2x-y^ =1         

     3x+y= 4

b)  x- =8        

     x+ y^=1

OBS: é y elevado ao 2, pois coloquei o chapeuzinho pq não sabia.

Answer 1

a) $\left \{ {{2x- y^{2} =1} \atop {3x+y=4}} \right.$

Na segunda equação, isolamos o x: $3x=4-y$ ⇒ $x= \frac{4-y}{3}$

Agora, substituímos o valor de x em função de y na primeira equação:

$2.( \frac{4-y}{3} )- y^{2} =1$

$( \frac{8-2y}{3} )- y^{2} =1$ ⇒ multiplica-se toda a equação por 3

$8-2y- 3y^{2} =3$ ⇒ reorganizamos os termos

$- 3y^{2} -2y+8-3=0$

$- 3y^{2} -2y+5=0$ ⇒ multiplica-se toda a equação por (- 1)

$3y^{2} +2y-5=0$ ⇒ resolve-se a equação do 2º grau normalmente

$y_{1} = \frac{-2+ \sqrt{4-4.3.(-5)} }{6} =\frac{-2+ \sqrt{4+60} }{6} =\frac{-2+ \sqrt{64} }{6} =\frac{-2+ 8 }{6} = \frac{6}{6} =1$ ⇒ $x_{1} = \frac{4-1}{3}= \frac{3}{3} =1$

ou

$y_{2} = \frac{-2- \sqrt{4-4.3.(-5)} }{6} =\frac{-2- \sqrt{4+60} }{6} =\frac{-2- \sqrt{64} }{6} =\frac{-2- 8 }{6} = \frac{-10}{6} =- \frac{5}{3}$ ⇒ $x_{2} = \frac{4-( -\frac{5}{3} )}{3}= \frac{4+\frac{5}{3}}{3}=\frac{\frac{12+5}{3}}{3}=\frac{\frac{17}{3}}{3}= \frac{17}{3} . \frac{1}{3} = \frac{17}{9}$

S= {$(1, 1),( \frac{17}{9} , -\frac{5}{3} )$}

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b) $\left \{ {{x-y=8} \atop {x+ y^{2} =1}} \right.$

Na primeira equação, isolamos o x: $x=y+8$

Agora, substituímos o valor de x em função de y na segunda equação:

$y+8+ y^{2} =1$ ⇒ reorganizamos os termos

$y^{2}+ y+8-1 =0$

$y^{2}+ y+7 =0$ ⇒ resolve-se a equação do 2º grau normalmente

$y_{1} = \frac{-1+ \sqrt{1-4.1.7} }{2}=\frac{-1+ \sqrt{1-28} }{2}=\frac{-1+ \sqrt{-27}. }{2}=\frac{-1+ \sqrt{27} . \sqrt{-1} }{2}=$$=\frac{-1+ \sqrt{3.9} . \sqrt{-1} }{2}=\frac{-1+ 3\sqrt{3} . i }{2}$ ⇒ $x_{1} =\frac{-1+ 3\sqrt{3} . i }{2}+8=\frac{16-1+ 3\sqrt{3} . i }{2}=\frac{15+ 3\sqrt{3} . i }{2}$$= \frac{3}{2} .(5+ \sqrt{3} . i)$

ou

$y_{2} = \frac{-1- \sqrt{1-4.1.7} }{2}=\frac{-1- \sqrt{1-28} }{2}=\frac{-1- \sqrt{-27}. }{2}=\frac{-1- \sqrt{27} . \sqrt{-1} }{2}=$$\frac{-1- \sqrt{3.9} . \sqrt{-1} }{2}=\frac{-1- 3\sqrt{3} . i }{2}$ ⇒ $x_{2} =\frac{-1- 3\sqrt{3} . i }{2}+8=\frac{16-1- 3\sqrt{3} . i }{2}=\frac{15- 3\sqrt{3} . i }{2}$$= \frac{3}{2} .(5- \sqrt{3} . i)$

S= {($\frac{3}{2} .(5+ \sqrt{3} . i)$, $\frac{-1+ 3\sqrt{3} . i }{2}$), ($\frac{3}{2} .(5- \sqrt{3} . i)$, $\frac{-1- 3\sqrt{3} . i }{2}$)}