Question

∫ sin² (x) cos²(x) d(x)​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\dfrac{x}{8}- \dfrac{\cos(4x)}{32} + \mathsf{C, \: C \in \mathbb{R}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

${ \int} \sin^2 (x)*\cos^2 (x) ~ \mathsf{d(}x)$

Uma vez que trata-se de um produto em cada factor está elevado a segunda potência, podemos elevar ambos a segunda potência, matematicamente,

$\int \left(\sin(x) *\cos(x) \right)^2 ~ \mathsf{d(}x)$

Observe que a expressão $\sin(x)*\cos(x)$ é equivalente a metade do seno do dobro de um ângulo.

Observações:

$\sin(2x) = 2 \sin(x)* \cos(x) \\ \Rightarrow \green{\dfrac{\sin(2x)}{2}} = \sin(x)* \cos(x)$

Deste modo, efectuando a substituição obteremos,

$\int \left(\dfrac{\sin(2x)}{2} \right)^2 ~ \mathsf{d(}x)$

$\int \left(\dfrac{1}{2}*\sin(2x) \right)^2 ~ \mathsf{d(}x)$

$\int \dfrac{1}{4}*\sin^2(2x) ~ \mathsf{d(}x)$

$\dfrac{1}{4} \int \sin^2(2x) ~ \mathsf{d(}x)$

Com a equação fundamental da trigonometria pode-se formular uma identidade que será essencial resolução da integral, use a seguinte identidade:

$\boxed{\boxed{\sin^2 ( \alpha) = \dfrac{1}{2} \left(1 - \cos(2\alpha) \right)}}}$

Obs.: Qualquer dúvida em relação a demostração desta identidade comente! continuando [...] observe também, no passo anterior que temos o quadrado do dobro seno, deste modo:

$\dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{2} \Big(1 - \cos(2*\green{2x}) \Big)~ \mathsf{d(}x)$

$\dfrac{1}{8} \int 1 - \cos(4x) ~ \mathsf{d(}x)$

Usando as propriedades das integrais e avaliando a mesma, podemos concluir que,

$\dfrac{1}{8} \left( \int 1~\mathsf{d(}x) - \int \cos(4x) ~ \mathsf{d(}x) \right)$

$\dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{\cos(4x)}{4} \right)$

$\boxed{\boxed{\dfrac{x}{8}- \dfrac{\cos(4x)}{32} + \mathsf{C, \: C \in \mathbb{R}}}}}$

Espero ter colaborado!)