Question

simplifique (x+y)² -x² - y²

Answer 1

Boa noite galera Pir2!  
Não estou conseguindo simplificar ao máximo a expressão polinomial que se segue.  
Gostaria de um auxilio para resolvê-la! (espero que o livro a tenha digitado certa)  
(Colégio Naval)  x³-x/ [(x-y)(x-z)] + y³-y/ [(y-z)(y-x)] + z³+z/[(z-x)(z-y)]. Está idêntica ao livro.
Muito obrigado!


pablomarquesdiniziniciante

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 Re: Expressões polinomiais

 por PedroCunha em Sex Set 19 2014, 18:52

Só tem um sinal errado:

z³ - z

Eu havia resolvido, mas acabei fechando a aba sem querer   

O troque é notar as mudanças de sinal.

No denominador, é fácil de perceber que

(x-y)*(x-z)*(y-z)*(y-x)*(z-x)*(z-y) = -(x-y)²*(x-z)²*(y-z)²

No numerador, é um pouco mais chato.

Fazendo as contas e simplificando com o denominador, você irá chegar na expressão:

[(x-x³)*(y-z) + (y³-y)*(x-z) + (z-z³)*(x-y)]/ [ -(x-y)*(x-z)*(y-z) ]

Agora, o truque é fatorar o numerador.

xy - xz - x³y + x³z + xy³ - y³z - xy + yz +xz - yz - xz³ + yz³ .:. 

-x³y + x³z + xy³ - y³z - xz³ + yz³ .:. 

x³*(z-y) + x*(y³-z³) + (yz³-y³z) 

Considere a equação p(x) = x³(z-y) + 0x² + x*(y³-z³) + (yz³-y³z)

Note que para x = y:

x³*(z-x) + x*(x³-z³) + (xz³-x³z) = x³z - x^4 + x^4 - xz³ + xz³-x³z = 0 

o mesmo para x = z, ou seja, x-y, x-z são fatores desse polinômio. Abaixando o grau duas vezes utilizando Briot-Ruffini:

y | z-y    0     y³-z³   yz³-y³z
z | z-y  yz-y² y²z-z³      0
     z-y  z²-y²   0      

Ou seja, 

x³(z-y) + x*(y³-z³) + (yz³-y³z)=(x-y)*(x-z)*[ x*(z-y)+(z²-y²)].:.
x³(z-y) + x*(y³-z³) +(yz³-y³z)=(x-y)*(x-z)*[x*(z-y) + (z-y)*(z+y)].:.
x³(z-y) + x*(y³-z³) +(yz³-y³z)=(x-y)*(x-z)*(z-y)*(x+y+z)


Voltando para a expressão original:


[(x-y)*(x-z)*(z-y)*(x+y+z)]/[-(x-y)*(x-z)*(y-z)] .:. 
[(x-y)*(x-z)*(z-y)*(x+y+z)]/[(x-y)*(x-z)*(z-y)] = x+y+z

Answer 2

Olá, tudo bem? Para simplificar essa expressão, primeiramente vamos desenvolver o produto notável " (x + y)² "; posteriormente, se possível, agruparemos os termos semelhantes (se houver); assim:

$(x+y)^{2} -x^{2} - y^{2}~=\\\\\not x^{2}+2xy+\not y^{2}-\not x^{2}-\not y^{2}=\\\\ \boxed{2xy}~~\text{(resposta final)}$

Qualquer dúvida, por favor, é só me comunicar, ok? Muito Agradecido!!