Question

Simplifique:
$^{3}\sqrt 896 ^{4}\sqrt 432 ^{2} \sqrt 9000$

Answer 1

$\bullet\;\;\sqrt[3]{896}$

Decompondoo o número $896$ em seus fatores primos temos

$\begin{array}{r|l} 896&2\\ 448&2\\ 224&2\\ 112&2\\ 56&2\\ 28&2\\ 14&2\\ 7&7\\ 1 \end{array}\\ \\ \\ 896=2^{7}\cdot 7$


Então,

$\sqrt[3]{896}\\ \\ =\sqrt[3]{2^{7}\cdot 7}\\ \\ =\sqrt[3]{2^{6+1}\cdot 7}\\ \\ =\sqrt[3]{2^{6}\cdot 2\cdot 7}\\ \\ =\sqrt[3]{2^{6}}\cdot \sqrt[3]{2\cdot 7}\\ \\ =\sqrt[3]{2^{2\,\cdot\,3}}\cdot \sqrt[3]{14}\\ \\ =\sqrt[3]{\left(2^{2} \right )^{3}}\cdot \sqrt[3]{14}\\ \\ =2^{2}\cdot \sqrt[3]{14}\\ \\ =4\sqrt[3]{14}$


$\bullet\;\;\sqrt[4]{432}$

Decompondoo o número $432$ em seus fatores primos temos

$\begin{array}{r|l} 432&2\\ 216&2\\ 108&2\\ 54&2\\ 27&3\\ 9&3\\ 3&3\\ 1 \end{array}\\ \\ \\ 432=2^{4}\cdot 3^{3}$


Então,

$\sqrt[4]{432}\\ \\ =\sqrt[4]{2^{4}\cdot 3^{3}}\\ \\ =\sqrt[4]{2^{4}}\cdot \sqrt[4]{3^{3}}\\ \\ =2\sqrt[4]{27}$


$\bullet\;\;\sqrt{9\,000}$

Decompondoo o número $9\,000$ em seus fatores primos temos

$\begin{array}{r|l} 9\,000&2\\ 4\,500&2\\ 2\,250&2\\ 1\,125&3\\ 375&3\\ 125&5\\ 25&5\\ 5&5\\ 1 \end{array}\\ \\ \\ 9\,000=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}$


Então,

$\sqrt{9\,000}\\ \\ =\sqrt{2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}}\\ \\ =\sqrt{2^{2+1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2+1}}\\ \\ =\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 5}\\ \\ =\sqrt{2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 2\cdot 5}\\ \\ =\sqrt{2^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}}\cdot \sqrt{5^{2}}\cdot \sqrt{2\cdot 5}\\ \\ =2\cdot 3\cdot 5\cdot \sqrt{10}\\ \\ =30\sqrt{10}$