Question

simplifique n! sobre (n-1)!​

Answer 1

Resposta:

n!/(n-1)! = n x (n-1)!/(n-1) x (n-2)! = n x (n-1) x (n-2)!/(n-1) x (n-2)! = n

Answer 2

Método 1 - Constatação simples

Um fatorial é um produto entre o número escolhido e todos os inteiros menores do que ele, até 1. Para o fatorial de 10, por exemplo, teríamos a seguinte situação:

$\frac{10!}{9!} = \frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}$

Perceba que podemos cortar vários números:

$\frac{10!}{9!} = 10$

Você pode tentar a mesma coisa com qualquer outro número e sempre chegará ao mesmo tipo de resultado. Portanto, $\frac{n!}{(n-1)!} = n$

Método 2 - Demonstração para qualquer inteiro

O fatorial de um inteiro n qualquer é tal que

$n! = n(n - 1)(n - 2) ... (n - [n-1])$

Ou seja, é o produto de n e todos os inteiros antes dele, até chegar ao número 1.

Se temos $\frac{n!}{(n-1)!}$, então isso é o mesmo que afirmar

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n - [n - 1])}{(n-1)([n - 1] - 1)([n-1]-2)...([n-1]-[[n-1]-1])}$

Simplificando o denominador, temos:

$\frac{n(n-1)(n-2)...(n - [n - 1])}{(n-1)(n - 2)(n - 3)...([n-1]-[[n-1]-1])}$

Perceba que, no denominador, todos os fatores de cima, exceto n, se repetem. Podemos, portanto, eliminá-los da razão:

$\frac{n(n - [n-1])}{([n-1] - [[n-1]-1])}$

Ou seja, só sobraram n e os últimos fatores de n! e (n-1)!, respectivamente. Mas não termina por aí: Já estabelecemos que o último fator de um fatorial é sempre 1. Portanto, podemos reescrever a razão como:

$\frac{n\times1}{1} = n$

Portanto, $\frac{n!}{(n-1)!} = n$