Question

Simplifique (n+3)!(n-1)!=

(n-2)!(n+2)!

Answer 1

A definição de fatorial para k natural é tal que:

$k! = k*(k-1)*(...)*2*1$

Daí podemos abrir qualquer fatorial que é preciso. No caso precisamos simplificar a seguinte expressão:

$(n+3)!*(n-1)! = (n-2)!*(n+2)!$

Um bom modo de começar a intuir sobre o exercício é saber abrir o fatorial no lugar certo a fim de simplificar o maior número de termos possível, para isso não precisamos abrir o fatorial inteiro, mas abrir até certo ponto:

Por exemplo, sabemos que:

$k! = k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*(...)*2*1$

Mas talvez o seu interesse seria não abri-lo por completo, mas parar no termo (k-2) fora. Sabemos pela definição (k-3)!,

$(k-3)! = (k-3)*(k-4)*(...)*2*1$

Perceba que k contém o produtório de (k-3)! em seu final, portanto:

$k! = k*(k-1)*(k-2)*(k-3)!$

Bem melhor ao invés de k termos.

Com essas propriedades em mente e agindo a fim de cortar o máximo de termos possível tentaremos resolver a expressão:

$(n+3)!*(n-1)! = (n-2)!*(n+2)!$

Veja, o termo (n+2)! do lado direito é muito útil quando vamos abrir o termo (n+3)!, do lado esquerdo, pois este último só precisa ser aberto até o (n+2)!:

$(n+3)*(n+2)!*(n-1)! = (n-2)!*(n+2)!$

O mesmo termo dos dois lados, corta!

$(n+3)*(n-1)! = (n-2)!$

Agora, perceba que o fatorial (n-1)! é somente (n-1)(n-2)!, que está no lado direto da expressão!:

$(n+3)*(n-1)*(n-2)! = (n-2)!$

Corta!

$(n+3)*(n-1) = 1$

Answer 2

(n+3)! (n-1)!

------------------

(n-2)! (n+2)!

(n+3)(n+2)! (n-1)(n-2)!

-----------------------------------

(n-2)! (n+2)!

(n+3)(n-1)

n² +2n -3