Simplifique: (n+3)!-2(n+3)!/2!-n!
Soluções para a tarefa
Resposta:
Temos que:
3! = 3 . 2 . 1 = 6
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 2 . 1
Logo:

Como se trata de uma multiplicação, podemos simplificar cortando o numerador com o denominador
2) Simplifique a expressão 
Esconder resposta
Veja que n! = n(n – 1)(n – 2)! assim, temos:

3) Simplifique a seguinte expressão 
Esconder resposta
A expressão (n – 1)! é equivalente a (n – 1)(n – 2)!, então temos o seguinte:

4) Simplifique (x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)! e encontre as raízes da equação encontrada.
Esconder resposta
Temos que (x + 3)! = (x + 3)(x + 2)(x + 1)! e (x + 2)! = (x + 2)(x + 1)!, logo:
(x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)! ⇒
(x + 3)(x + 2)(x + 1)! + (x + 2)(x + 1)! = 8(x + 1)! ⇒ Cortando (x + 1)!
(x + 3)(x + 2) + (x + 2) = 8 ⇒
(x + 2)((x + 3) + 1) = 8 ⇒ (colocamos x + 2 em evidência)
(x + 2)(x + 4) = 8 ⇒
x² + 4x + 2x + 8 = 8 ⇒
x² + 6x + 8 = 8 ⇒
x² + 6x + 8 – 8 = 0 ⇒
x² + 6x = 0 ⇒
x² + 6x = 0 ⇒ (Chegamos a uma equação do segundo grau, devemos encontrar as raízes da equação)
Portanto, as raízes são: x = 0 ou x = -6
5) Simplifique a expressão: 
Ver resposta
Temos que:
(n + 1)! = (n + 1) . n . (n – 1) . (n – 2)!
n! = n(n – 1)(n – 2)!
Logo:

Colocando (n – 2)! em evidência, temos:

Cortando (n – 2)!, temos o seguinte:

Com n ≥ 2.
6) (FEI) Se , então o determine o valor de n.
Ver resposta
É bastante comum encontrar exercícios deste tipo com fatorial, como esta questão do vestibular da FEI.
Vamos desenvolver alguns dos fatoriais acima para simplificar:
n! = n(n – 1)!
(n +1)! = (n + 1)n(n – 1)!
Logo, vai ficar assim após substituirmos:

No denominador podemos colocar (n – 1)! em evidência. Assim:

Eliminando (n – 1)!, fica da seguinte forma:

Multiplicando em cruz, temos:
(n + 1) . 25 = ((n + 1)n – n) . 6 ⇒
25n + 25 = (n² + n – n) . 6 ⇒
25n + 25 = 6n² + 6n – 6n ⇒
6n² – 25n – 25 = 0
Temos agora uma equação do segundo grau e devemos encostrar as raízes para encontrar o valor de n.
Coeficientes:
a = 6; b = – 25; c = – 25
Δ = b² – 4ac ⇒
Δ = (- 25)² – 4 . 6 . (- 25) ⇒
Δ = (- 25)² – 4 . 6 . (- 25) ⇒
Δ = 625 – (- 600) ⇒
Δ = 1225
Continuando…

Logo,
 ou 
Como número fatorial somente pode ser número inteiro, temos que o valor aceitável, neste caso, é 5. Portanto, o valor de n é 5.
7) Simplifique a expressão 
Esconder resposta
Resolvendo por partes, temos que (2n)! = 2n . (2n – 1) . (2n – 2)!
Dessa forma, podemos reescrever a expressão assim:

Eliminando (2n – 2)! e 2, temos então:

8) Simplifique o máximo possível a expressão 
Esconder resposta
Veja que:
(n + 2)! = (n +2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2)!
(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n -1)!
Então fica assim:

Eliminando o que for possível, ou seja, os termos coincidentes, temos o seguinte:

Podemos desenvolver (n – 1)!, logo:
(n – 1)! = (n-1)(n-2)!
Assim, substituindo fica:

Cancelando os temos iguais, temos então:

Podemos fazer a distributiva realizando o produto de (n + 3)(n – 1) ou deixar assim. Se fizermos o produto encontraremos um polinômio: (n + 3)(n – 1) = n² + 2n – 3.