Question

simplifique log a= m e log b= n, entao o valor da expressão é equivalente a:

Answer 1

$\log _{100} (\frac{a^{2} }{\sqrt{b} } )$

1) Propriedade da mudança de bases:

$\log _{100} (\frac{a^{2} }{\sqrt{b} } ) = \frac{\log \frac{a^{2} }{\sqrt{b} }}{\log 100}$

2) Log de uma divisão se transforma em uma diferença de log

$\frac{\log \frac{a^{2} }{\sqrt{b} }}{\log 100}  = \frac{log a^{2} - \log\sqrt{b}  }{log 100}$

3) Vamos transformar 100 em 10² e √b em b ^(1/2)

$\frac{log a^{2} - \log\sqrt{b}  }{log 100}  = \frac{log a^{2} - \log b^{\frac{1}{2} }   }{log 10^{2} }$

4) Regra do tombo: o expoente "desce" multiplicando o log:

$\frac{log a^{2} - \log b^{\frac{1}{2} }   }{log 10^{2} }  =  \frac{2log a - \frac{1}{2} \log b   }{2log 10 }$

5) Log 10 = 1, e vamos substiruir agora log a = m e log b = n

$\frac{2log a - \frac{1}{2} \log b   }{2log 10 }  = \frac{2m - \frac{1}{2} n   }{2 }$

6) Fazendo MMC e finalizando:

$\frac{2m - \frac{1}{2} n   }{2 }  = \frac{\frac{4m - n}{2} }{2}  = \frac{4m - n}{2}.\frac{1}{2}  = \boxed{\boxed{\frac{4m - n}{4} }}$