Question

Simplifique f(x+h) - f(x) / h sendo f(x) = 4x²+4x

Answer 1

Temos que:

$f(x) = 4x {}^{2} + 4x$

A questão pergunta qual a simplificação dessa função a partir dessa expressão:

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Se você observar, temos f(x + h), ou seja, no local de "x" na função f(x) devemos substituir por x + h, então vamos ter que:

$f(x + h) \rightarrow f(x) = 4x {}^{2} + 4x \\ \\ 4.(x + h) {}^{2} + 4.(x + h) \\ 4.(x + h).(x + h) + 4x + 4h \\ 4.(x {}^{2} + 2xh + h {}^{2} ) + 4x + 4h \\ 4x {}^{2} + 8xh + 4h {}^{2} + 4x + 4h$

Substituindo essa expressão na divisão:

$\frac{4x {}^{2} + 8xh + 4h {}^{2} + 4x + 4h - (4x {}^{2} + 4x) }{h} \\ \\ \frac{ \cancel {4 {x}^{2}} + 8xh + 4h {}^{2} + \cancel{4x} + 4h \cancel{- 4x {}^{2}} \cancel{- 4x} }{h} \\ \\ \frac{4h {}^{2} + 8xh + 4h}{h} \\ \\ \frac{ \cancel{h}.(4h + 8x + 4)}{ \cancel{h}} \\ \\ \boxed{4h + 8x + 4}$

• Já adianto à você que essa expressão f(x+h) - f(x) / h é praticamente a definição de derivada, uma matéria que vemos no ensino superior, essa definição é dada por:

$\boxed{\frac{dy}{dx} = \lim_{ \Delta x \rightarrow 0 } \: \frac{f(x +\Delta x) - f(x )}{\Delta x} }$

Espero ter ajudado