Question

Simplifique esta razão:
{[3 - (raiz quadrada de (5 + x)]} / {[1 - (raiz quadrada de (5 - x)]}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Egg, que a resolução é mais ou menos simples.
Pede-se o limite, quando "x" tende a 4 da seguinte expressão:

lim [3 - √(5+x)] / [1 - √(5-x)]
x--> 4

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que se formos substituir o "x" por "4", iremos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação.

ii) Se formos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que seria "1+√(5-x)", também iremos encontrar algo sobre "0" e isto não existe, pois denominador nenhum poderá ser zero.

iii) Então nos resta apenas uma hipótese. É encontrar, de forma independente, a derivada do numerador e a derivada do denominador. Com isso, com certeza, levantaremos a indeterminação.

iii.1) Vamos encontrar qual é a derivada do numerador, que é este:

3 - √(5+x) ---- note que √(5+x) = (5+x)¹/². Então vamos encontrar qual é a derivada de:

3 - (5+x)¹/² ---- encontrando, teremos:
0 - (1/2)*(5+x)⁻¹/²*(1) = - 1/2*1/(5+x)¹/² = -1/2*√(5+x) = -1/2√(5+x) <---Esta é a derivada do numerador.

iii.2) Vamos encontrar a derivada do denominador, que é este:

1 - √(5-x)---- como √(5-x) = (5-x)¹/², teremos:
1 - (5-x)¹/²* ----- encontrando a sua derivada, teremos:
0 - (1/2)*(5-x)⁻¹/²*(-1) = (1/2)*1/(5-x)¹/² = 1/2√(5-x) <--- Esta é a derivada do denominador.

iv) Agora vamos colocar, no lugar da expressão original, as duas derivadas encontradas de forma independente, como vimos acima. Assim:

lim [-1/2√(5+x)] / [1/2√(5-x)]
x--> 4

Agora note que já poderemos substituir o "x" por "4" e não teremos mais nenhuma indeterminação. Veja como ficaremos quando substituirmos o "x" por "4" na expressão acima:

[-1/2√(5+4)/ / [1/2√(5-4)] = -1/2√(9)] / 1/2√(1) ---- como √(9) = 3 e √(1) = 1, temos:
[-1/2*3] / [1/2*1] = [-1/6] / [1/2] ---- veja: temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então:

= (-1/6)*(2/1) = -1*2/6*1 = -2/6 = - 1/3 (após simplificarmos tudo por "2") ---- Ou seja, o limite pedido será igual a  "-1/3", ou, em outras palavras, temos que:

lim [3 - √(5+x)] / [1 - √(5-x)] = - 1/3 <--- Esta é a resposta.
x-->4

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.