Question

Simplifique essas expressões:
a) (x²-2x)/(x²-x-2)


b) [( x³)² -1] / [(x³.x³.x⁴) -1]

Answer 1

a)     $\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}=\frac{x(x-2)}{(x+1)(x-2)}=\frac{x}{x+1}$  

Cálculos Auxiliares:

                               

       $x=\frac{1-\sqrt{(-1)^{2}-4*1*(-2)}}{2*1}$   ∨   $x=\frac{1+\sqrt{(-1)^{2}-4*1*(-2)}}{2*1}$ ⇔

  ⇔ $x=\frac{1-\sqrt{1+8}}{2}$   ∨   $x=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2}$ ⇔

  ⇔ $x=\frac{1-\sqrt{9}}{2}$   ∨   $x=\frac{1+\sqrt{9}}{2}$ ⇔

  ⇔ $x=\frac{1-3}{2}$   ∨   $x=\frac{1+3}{2}$ ⇔

  ⇔ $x=\frac{-2}{2}$   ∨   $x=\frac{4}{2}$ ⇔

  ⇔ $x=-1$   ∨   $x=2$

b)     $\frac{(x^{3})^{2}-1}{x^{3}*x^{3}*x^{4}-1}=\frac{x^{6}-1}{x^{10}-1}=\frac{(x^{2}-1)(x^{4}+x^{2}+1)}{(x^2-1)(x^8+x^6+x^4+x^2+1)}=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^8+x^6+x^4+x^2+1}$

Cálculos Auxiliares:

Pela Diferença de cubos  --> $x^3-y^3=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

$x^{6}-1=(x^{2})^{3}-(1^{3})=(x^{2}-1)((x^{2})^{2}+x^{2}*1+1^{2})=(x^{2}-1)(x^{4}+x^{2}+1)$

Pela Fatorização de polinómios --> $x^n+y^n=\left(x+y\right)\left(x^{n-1}-x^{n-2}y+\:\dots \:-\:xy^{n-2}\:+\:y^{n-1}\right),n \left impar$

$(x^2)^5-1^{5}=(x^2-1)[(x^2)^4-(x^2)^3*(-1)+(x^2)^2*(-1)^2-(x^2)*(-1)^3+(-1)^4]=$

               $=(x^2-1)(x^8+x^6+x^4+x^2+1)$