Question

Simplifique as expressões: a) tgx+ cotgx sobre cossecx b) 2-sen ao quadrado de x- tg ao quadrado de x sobre cos ao quadrado de x

Answer 1

Trigonometria: Medida do triângulo(especialmente o triângulo retângulo)

Seno, cosseno, tangente, ...
Seno α = CO/H = q/pCosseno α = CA/H = r/pTangente α  = Seno/Cosseno = CO/CA = q/rCossecante α = 1/seno = H/CO = p/q (inverso do seno)Secante α = 1/cosseno = H/CA = p/r (inverso do cosseno)Cotangente α  = 1/tangente = Cosseno/Seno = CA/CO = r/q (inverso da tangnte)

Relação Fundamental da Trigonometria:

AB = a; 
BC = b; 
AC = c.

sen² α + cos² α = 1
Prova :
seno α = a/b  =>  a = b.sen α
cos α = c/b => c = b.cos α
a² + c² = b²  => b².sen²α + b².cos²α = b² => 1.sen²α + 1.cos²α = 1(corta todos os "b²") =>sen²α + cos²α = 1 





Ciclo trigonométricoO ciclo mostra o seno, o cosseno e a yangente no plano cartesiano.
O eixo das abiscissas é o cosseno e o eixo das ordenadas é o seno e ainda tem o eixo tangencial à circunferência que é a tangente.
O eixo é dividido em quadrantesI - 1° quadranteII - 2° quadranteIII - 3° quadranteIV - 4° quadrante
Em I, o seno, o cosseno e a tangente são positivos;Em II, o seno é positivo;Em III, a tangente é positiva;Em IV, o cosseno é positivo.
O ciclo trigonométrico é unitário, ou seja, do centro à circunferência é 1, porque o maior seno e maior cosseno é igual à 1 e o menor seno e menor cosseno é igual à -1.
Principais senos, cossenos e tangentes










Arco Duplo
sen(A + B) = senA.cosB + senB.cosA (Vídeo provando esta fórmula: Provando sen(a + b))sen(A - B) = senA.cosB - senB.cosAcos(A + B) = cosA.cosB - senA.senBcos(A - B) = cosA.cosB + senA.senBsen 2A = sen(A + A) = senA.cosA + senA.cosA = 2senA.cosA
cos 2A = cos(A + A) = cosA.cosA - senA.senA = cos²A - sen²Acos 2A = cos²A - sen²A = cos²A - (1 - cos²A)Relação fundamental = cos²A - 1 + cos²A = 2cos²A - 1cos 2A = cos² A - sen² A = (1 - sen²A) - sen²A = 1 - 2sen²A


 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIQUESTÕESIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


01 - (Fuvest - modificada)Se α é um ângulo tal que 0 < α < π/2 e senα = a, então tg(π - α) é igual a quanto?


α é menor que 90° graus então pertence ao primeiro quadrante.
π é 180°
então π - α está entre 90° e 180°, ou seja, segundo quadrante(figura).


Como tangente é seno sobre cosseno e o seno de α é "a", a resposta terá um "a" em cima.
Como a tangente no segundo quadrante é negativa, a resposta será negativa.


Esta não é a figura da questão, então desconsiderem que o α seja o ângulo mostrado. Imaginem o ângulo mostrado como (π - α)O ângulo que a figura mostra pode ser π - α. A reta que sai do ponto "A" marca o cosseno na reta x. Podemos chamar o cosseno de "m", por exemplo.
sen²α + cos² α = 1a² + m² = 1
m² = 1 - a²m =  √1 - a² 

tangente = seno/cosseno = a/m = a/√1 - a² = -a/√1 - a²
Resposta:       - a       .                     √1 - a²



02 - Considere a igualdade tgx = cotgx + [P.(2 - sec²x)/2tgx]. Qual é o valor de P, para o qual a igualdade acima seja válida para todo x ∈ R, x ≠ 0 kπ/2, K inteiro.


tgx = cotgx + [P.(2 - sec²x)/2tgx]

tgx - cotgx = 2.P - sec²x.P
                           2tgx

tgx.2tgx -    1  .2tgx = 2.P - sec²x.P
                 tgx

2tg²x - 2 = 2.P - sec²x.P

2.  sen²x  - 2 = 2.P -     1    .P
     cos²x                    cos²x

2.sen²x - 2cos²x = 2cos²x.P - P
                    cos²x

2(sen²x - cos²x) = P(2cos²x - 1)

2(sen²x - cos²x) = P(cos²x + cos²x - 1)
sen²α + cos²α = 1  =>  cos²α - 1 = -sen²α

2(sen²x - cos²x) = P(cos²x - sen²x)

P = 2 (sen²x - cos²x)
      -1(sen²x - cos²x)

Resposta: P = -2

03 - Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumenteos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão 2 sen²x + 2cos²x - 5 envolve estas funções e, para π < x < 3π/2, seu valor é:

2sen²x + 2cos²x - 5 = 
2(sen²x + cos²x) - 5 =
2.1 - 5 =
2 - 5 =
-3

Resposta: -3

04 - Demonstre a identidade a seguir:
tg x + cotg x = sec x . cossec x
sen + cos =   1    .   1         
cos   sen     cos      sen

sen² + cos²  =       1      
   sen.cos         sen.cos

        1        =          1          
  sen.cos           sen.cos

sen.cos   =   1
sen.cos

1 = 1

05 - Quanto é sen75°?

sen75° = sen (30 + 45) = sen30.cos45 + sen45.cos30
                                           1     .  √2   +    √2   .     √3   
                                           2         2            2            2

                                          √2   +    √6  
                                            4           4

                                           √2 + √6  
                                                4

Resposta:    √2 + √6  
                          4

Answer 2

O minuendo de uma subtração é 28 quanto é a soma do sbtraendo com a diferencia