Question

Simplifique a questão, para chegar nessa resposta, por favor postem resolução detalhada :)
$( \frac{3xy}{4})^{-3}.( \frac{2 x^{2}y^{2} }{3})^{2}:( \frac{16x}{9y})= Resposta: \frac{2^{4}. y^{2} }{3^{3} }$

Answer 1

Olá

$\displaystyle (\frac{3xy}{4} )^{-3}~\cdot~( \frac{2x^2y^2}{3} )^2~\div~ \frac{16x}{9y} \\ \\ \\ \text{Primeiro temos que fazer com que o expoente do primeiro termo}\\\text{que esta negativo, vire positivo, para isso, usaremos a seguinte}\\\text{propriedade}\\\\ (\frac{a}{b} )^{-p}~=~( \frac{b}{a} )^p \\ \\ \text{resumindo, basta inverter o numerador com o denominador.} \\ \\ \\ (\frac{4}{3xy} )^{3}~\cdot~( \frac{2x^2y^2}{3} )^2~\div~ \frac{16x}{9y}$

$\displaystyle \text{como temos uma divisao, podemos reescrever os dois primeiros termos}\\\text{dividido pelo terceiro termo...veja como a expressao ficara} \\ \\ \\ \frac{ (\frac{4}{3xy})^3 ~\cdot~( \frac{2x^2y^2}{3} )^2}{ \frac{16x}{9y} } \\ \\ \\ \text{Veja que temos uma divisao de fracoes, entao temos que usar}\\\text{regra que diz, multiplica-se a(s) primeira(s) fracao(oes) pelo inverso}\\\text{da(s) segunda(s) fracao(oes)} \\ \\ \text{em outros termos}$

$\displaystyle \frac{ \frac{a}{b} }{ \frac{c}{d} } ~=~ \frac{a}{b} ~\cdot~ \frac{d}{c} \\ \\ \\ \text{Vamos entao aplicar essa propriedade} \\ \\ \\ \frac{ (\frac{4}{3xy})^3 ~\cdot~( \frac{2x^2y^2}{3} )^2}{ \frac{16x}{9y} } \\ \\ \\ \frac{9y}{16x} ~\cdot~ (\frac{4}{3xy})^3~ \cdot ~( \frac{2x^2y^2}{3} )^2 \\ \\ \\ \text{Agora, temos que efetuar os expoentes} \\ \\ \\ \frac{9y}{16x} ~\cdot~ \frac{4^3}{3^3x^3y^3}~ \cdot ~ \frac{2^2(x^2)^2(y^2)^2}{3^2}$

$\displaystyle \frac{9y}{16x} ~\cdot~ \frac{64}{27x^3y^3}~ \cdot ~ \frac{4x^4y^4}{9} \\ \\ \\ \text{Agora e so simplificar os termos em comum, }\\\text{irei simplificar 1 termo a cada passagem para ficar claro com quem}\\\text{eu simplifiquei} \\ \\ \\ \frac{\diagup\!\!\!\!9y}{16x} ~\cdot~ \frac{64}{\diagup\!\!\!\!\!\!27x^3y^3}~ \cdot ~ \frac{4x^4y^4}{9} \\ \\\\ \frac{\diagup\!\!\!\!\!y}{16x} ~\cdot~ \frac{64}{3x^3y^{\diagup\!\!\!\!3}}~ \cdot ~ \frac{4x^4y^4}{9}$

$\displaystyle \frac{1}{\diagup\!\!\!\!\!\!16x} ~\cdot~ \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!64}{3x^3y^{2}}~ \cdot ~ \frac{4x^4y^4}{9} \\ \\ \\ \frac{1}{x} ~\cdot~ \frac{4}{3x^{\diagup\!\!\!\!3}y^{\diagup\!\!\!\!2}}~ \cdot ~ \frac{4x^{\diagup\!\!\!\!\!4}y^{\diagup\!\!\!\!4}}{9} \\ \\ \\ \frac{1}{\diagup\!\!\!\!\!x} ~\cdot~ \frac{4}{3} ~\cdot~ \frac{4\diagup\!\!\!\!\!xy^2}{9} \\ \\ \\ \frac{1}{1} ~\cdot~ \frac{4}{3} ~\cdot~ \frac{4y^2}{9} \\ \\ \\ \frac{16y^2}{27}$

$\displaystyle \\ \\ \\ \text{podemos reescrever o 16 como } 2^4~~~\text{pois }2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \\ \\ \text{e podemos reescrever o 27 como }3^3,\text{ ja que}~3\cdot3\cdot3=27 \\ \\ \text{reescrevendo a fracao} \\ \\ \\ \frac{16y^2}{27} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{2^4y^2}{3^3} }}$





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