Question

Simplifique a fração algébrica:x3+ 8x2 − 4+x2− 16x2 − 4x=

Answer 1

$x^3+8=0\\x=\sqrt[3]{-8} =-2$

então (x+2) é um binômio de x³+8 agora é necessário dividir x³+8 por (x+2)

x³+8 dividido por x+2

-x³-2x²                   x²-2x+4

8-2x²

+2x²+4x

8+4x

-4x-8

    0

obtemos x³+8=(x²-2x+4).(x+2)

fazendo as outras contas, usando diferenças de quadrados e fatorando:

$\frac{(x^2-2x+4).(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{(x+4)(x-4)}{x.(x-4)}$

$\frac{(x^2-2x+4)}{(x-2)}+\frac{(x+4)}{x}$

$\frac{x.(x^2-2x+4)+(x+4)(x-2)}{x.(x-2)}$

somente na parte de cima tem que distribuir somar o que é possível depois fatorar novamente:

$\frac{x^3-2x^2+4x+x^2+2x-8}{x.(x-2)}$

$\frac{x^3-x^2+6x-8}{x.(x-2)}$

polinômio de grau 3 é sempre muito chato para encontrar as raízes aqui não tem jeito vai ter que encontrar os candidatos as raízes e testar uma por uma. Mas podemos fazer uma conta mais inteligente. Queremos apenas reduzir a fração o polinômio de cima não é divisível por x, pois tem o -8 se ele não for divisível por x-2 é o máximo onde podemos ir, entretanto se ele é divisível por x-2 então x=2 tem que ser raiz do polinômio de cima. Vamos verificar.

2³-(2²)+6.2-8=8, ou seja para minha alegria não é raiz significa que:

$\frac{x^3-x^2+6x-8}{x.(x-2)}$ é o máximo que você pode fazer

então:

$\frac{x^3-x^2+6x-8}{x^2-2x}$