Question

" Simplifique a fração (2n)! / n! "
Preciso da resolução

Answer 1

Bom, creio que não há muita coisa a fazer nessa questão.

O máximo que dá para fazer é expressar a fração em termos de um produto:


$\bullet\;\;$ Sabemos que $n$ é um número natural. Logo,

$n\geq 0~\Rightarrow~n+n\geq n~\Rightarrow~2n\geq n~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Sabemos que todo número natural tem sucessor. Portanto, vale a seguinte ordem:

$n<n+1<n+2<\ldots\leq 2n~~~~~~\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Portanto, por $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ podemos escrever

$\dfrac{(2n)!}{n!}\\ \\ \\ =\dfrac{(2n)\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdot \ldots \cdot (n+2)\cdot (n+1)\cdot \diagup\!\!\!\!\! n!}{\diagup\!\!\!\!\! n!}\\ \\ \\ =(2n)\cdot (2n-1)\cdot (2n-2)\cdot \ldots \cdot (n+2)\cdot (n+1).$


O valor de $\dfrac{(2n)!}{n!}$ é o produto de todos os naturais consecutivos desde $(n+1)$ até $(2n).$

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Podemos também expressar a fração em termos de arranjos simples:

$\dfrac{(2n)!}{n!}\\ \\ \\ =\dfrac{(2n)!}{[(2n)-n]!}\\ \\ \\ =A_{2n,\;n}$

É o número de arranjos simples de $2n$ elementos, tomados $n$ a $n.$