Question

Simplifique a expressão: y= tgx/cotgx . cos2x/sen2x

Answer 1

Para resolver essa questão, devemos nos lembrar de algumas fórmulas de soma de arcos das funções seno e cosseno.

$\begin{cases} cos(x+x) = cos(2x) = cos^2x-sen^2x\\sen(x+x)=sen(2x)=2\cdot senx \cdot cosx \end{cases}$

Além disso, não podemos nos esquecer das seguintes relações envolvendo tangente e cotangente.

$\begin{cases}tgx = \dfrac{senx}{cosx}\\\\cotgx=\dfrac{1}{tgx} \end{cases}$

Portanto, simplificando a expressão y, obtemos:

$y = \dfrac{tgx}{cotgx}\cdot \dfrac{cos2x}{sen2x} \Rightarrow\\\\\\y = \dfrac{tgx}{\frac{1}{tgx}}\cdot \dfrac{cos2x}{sen2x} \Rightarrow\\\\\\y=(tgx)^2\cdot \left(\dfrac{cos2x}{sen2x}\right)\Rightarrow\\\\\\y = \left(\dfrac{senx}{cosx}\right)^2\cdot \dfrac{cos^2x-sen^2x}{2\cdot senx\cdot cosx} \Rightarrow\\\\\\y = \dfrac{senx\cdot(cos^2x-sen^2x)}{2\cdot cos^3x}$

$y = \dfrac{senx \cdot cos^2x}{2\cdot cos^3x}-\dfrac{sen^3x}{2\cdot cos^3x}\Rightarrow\\\\\\y = \dfrac{tgx}{2}-\dfrac{tg^3x}{2} \Rightarrow\\\\\\\boxed{y = \dfrac{tgx.(1-tg^2x)}{2}}$