Question

Simplifique a expressão: y= sen(135º + x) + sen(135º - x)

Answer 1

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Simplificar a expressão  y = sen(135° + x) + sen(135° – x).

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Há várias formas de se resolver esse problema. Você pode usar, por exemplo, uma das fórmulas de transformação de soma em produto (prostaférese):

     •   $\mathsf{sen(p)+sen(q)=2\cdot sen\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}$


Usando a fórmula acima, para  p = 135° + x  e  q = 135° – x,  você obtém

     $\mathsf{y=sen(135^\circ+x)+sen(135^\circ-x)}\\\\\\ \mathsf{y=2\cdot sen\!\left(\dfrac{(135^\circ+x)+(135^\circ-x)}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{(135^\circ+x)-(135^\circ-x)}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=2\cdot sen\!\left(\dfrac{135^\circ+\diagup\!\!\!\! x+135^\circ-\diagup\!\!\!\! x}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{\,\diagdown\!\!\!\!\!\!\! 135^\circ+x-\,\diagdown\!\!\!\!\!\!\! 135^\circ+x}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=2\cdot sen\!\left(\dfrac{135^\circ+135^\circ}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{x+x}{2}\right)}$

     $\mathsf{y=2\cdot sen\!\left(\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 135^\circ}{\diagup\!\!\!\! 2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{\diagdown\!\!\!\! 2x}{\diagdown\!\!\!\! 2}\right)}\\\\\\ \mathsf{y=2\cdot sen(135^\circ)\cdot cos(x)}\\\\ \mathsf{y=\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot cos(x)}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y=\sqrt{2}\cdot cos(x)}\end{array}}$   <————   esta é a resposta simplificada.


Bons estudos! :-)