Question

Simplifique a expressão y = cossec x - sec x / cotg x - 1. Por favor me ajudam !

Answer 1

Olá Robert.


Identidades trigonométricas usadas

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{cosec~x=\dfrac{1}{sen~x}}}}\\\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{sec~x=\dfrac{1}{cos~x}}}}\\\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{cotg~x=\dfrac{1}{tg~x}=\dfrac{cos~x}{sen~x}}}}$

______________________

Considerando que a expressão do enunciado seja:


$\mathsf{y=\dfrac{cosec~x-sec~x}{cotg~x-1}}$


Utilizando as identidades trigonométricas, temos


$\mathsf{y=\dfrac{cosec~x-sec~x}{cotg~x-1}}\\\\\\\\\mathsf{y=\dfrac{\dfrac{1}{sen~x}-\dfrac{1}{cos~x}}{\dfrac{cos~x}{sen~x}-1}}\\\\\\\\\mathsf{y=\dfrac{\dfrac{cos~x-sen~x}{(sen~x)\cdot(cos~x)}}{\dfrac{cos~x-sen~x}{sen~x}}}$


Em divisão de duas frações conservamos a primeira e multiplicamos pelo o inverso da segunda


$\mathsf{y=\dfrac{\dfrac{cos~x-sen~x}{(sen~x)\cdot(cos~x)}}{\dfrac{cos~x-sen~x}{sen~x}}}\\\\\\\\\\\mathsf{y=\dfrac{(cos~x-sen~x)}{(sen~x)\cdot(cos~x)}\cdot\dfrac{(sen~x)}{(cos~x-sen~x)}}$


Simplifique cos x - sen x e sen x.


$\mathsf{y=\dfrac{(cos~x-sen~x)}{(sen~x)\cdot(cos~x)}\cdot\dfrac{(sen~x)}{(cos~x-sen~x)}}\\\\\\\\\\\mathsf{\boxed{\mathsf{y=\dfrac{1}{cos~x}}}~~~~ou~~~~\boxed{\mathsf{y=sec~x}}}$



Dúvidas? comente.

Answer 2

Olá

$\boxed{\dfrac{cossec(x)-sec(x)}{cotg(x) -1}}$

Neste caso, deveremos substituir as equivalências aos cossecantes, secantes e cotangentes

Sabendo que:

$\boxed{cossec(x)=\dfrac{1}{sen(x)}}$

$\boxed{sec(x)=\dfrac{1}{cos(x)}}$

$\boxed{cotg(x)=\dfrac{1}{tg(x)}=\dfrac{1}{\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}=\dfrac{cos(x)}{sen(x)}}}$

Façamos

$\dfrac{\dfrac{1}{sen(x)}-\dfrac{1}{cos(x)}}{\dfrac{cos(x)}{sen(x)}-1}$

Encontre o denominador comum dos termos do numerador e denominador, divida pelo original e multiplique pelo numerador

$\dfrac{\dfrac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)cos(x)}}{\dfrac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)}}}$

Utilize a fórmula $\boxed{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{ad}{bc}}$ para simplificar a fração

$\dfrac{\dfrac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)cos(x)}}{\dfrac{cos(x)-sen(x)}{sen(x)}}\\\\\\ \dfrac{[~cos(x)-sen(x)~]\cdot sen(x)}{[~sen(x)cos(x)~]\cdot[cos(x)-sen(x)~]}$


Cancele os iguais

[/tex]

$\dfrac{1}{cos(x)}$

Fatore a expressão

$\boxed{sec(x)~~\checkmark}$