Question

Simplifique a expressão:  $\frac{(n!) ^{2} - (n-1)!.n! }{(n-1)!.n!}$

Answer 1

$\frac{(n!)^2-(n-1)^!n!}{(n-1)!n!}=\frac{n!n!-(n-1)^!n!}{(n-1)!n!}=\frac{n!n(n-1)!-(n-1)!n!}{(n-1)!n!}=\\ \\ =\frac{n!n(n-1)!}{(n-1)!n!}-\frac{(n-1)!n!}{(n-1)!n!}=\boxed{n-1}$

Answer 2

Observe que:

$\dfrac{(n!)^2-(n-1)!\cdot(n!)}{(n-1)!\cdot(n!)}=\dfrac{n!-(n-1)!}{(n-1)!}$.

Por outro lado:

$n!-(n-1)!=(n-1)!(n-1)$. Assim:

$\dfrac{n!-(n-1)!}{(n-1)!}=\dfrac{(n-1)!(n-1)}{(n-1)!}=(n-1)$.

Portanto:

$\dfrac{(n!)^2-(n-1)!\cdot(n!)}{(n-1)!\cdot(n!)}=(n-1)$