Question

Simplifique a expressão:

$(1/ \sqrt{2}) + (1/ \sqrt{2} + 1) + (1/ \sqrt{2} - 1)$

Sei que a resposta dá

[tex](5.sqrt{2}/2)[tex] Mas não entendi o por que disto.

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \frac{1}{ \sqrt{2} } ~+~ \frac{1}{ \sqrt{2}+1 } ~+~ \frac{1}{ \sqrt{2}-1 } \\ \\ \\ \text{Tira o MMC, que no caso e a multiplicacao de todos os denominadores} \\ \\\text{Entao no denominadora ficara a expressao} \\ \\ (\sqrt{2} )\cdot( \sqrt{2} +1)\cdot ( \sqrt{2} -1) \\ \\ \text{Ai faz o esqueminha, divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima.}$

$\displaystyle \frac{( \sqrt{2}+1 )( \sqrt{2}-1 )~+~( \sqrt{2} )( \sqrt{2} -1)~+ ~( \sqrt{2} )( \sqrt{2}+1 )}{(\sqrt{2} )\cdot( \sqrt{2} +1)\cdot ( \sqrt{2} -1)} \\ \\ \\ \text{Agora temos que aplicar a distributiva, tanto no numerado, quanto no}\\\text{denominador, Para nao ficar muito baguncado, farei um de cada vez}$

$\text{No numerador:} \\\\( \sqrt{2}+1 )( \sqrt{2}-1 )~+~( \sqrt{2} )( \sqrt{2} -1)~+ ~( \sqrt{2} )( \sqrt{2}+1 )\\\\(\sqrt{2})^2 -\sqrt{2}+\sqrt{2}-1+(\sqrt{2})^2-\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+\sqrt{2} \\ \\ \text{Os termos }(\sqrt{2})^2~\text{Cancela a raiz com o expoente, isso resulta em 2} \\ \\ 2-~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{2}+~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{2}-1+2-~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ \sqrt{2}+2+~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{2} \\ \\ 2-1+2+2 \\ \\=\boxed{5}~~\longleftarrow \text{Numerador}$


$\displaystyle\text{Agora no denominador} \\ \\ (\sqrt{2} )\cdot( \sqrt{2} +1)\cdot ( \sqrt{2} -1) \\ \\ ((\sqrt{2})^2+ \sqrt{2})\cdot ( \sqrt{2}-1) \\ \\ (2+ \sqrt{2})\cdot( \sqrt{2}-1) \\ \\ 2 \sqrt{2}-2+ (\sqrt{2})^2- \sqrt{2} \\ \\ 2 \sqrt{2}-\diagup\!\!\!\!2+\diagup\!\!\!\!2- \sqrt{2} \\ \\ 2 \sqrt{2}- \sqrt{2} \\ \\ =\boxed{ \sqrt{2}}~~~~~ \longleftarrow \text{Denominador}$


$\displaystyle\text{Portanto encontramos} \\ \\ \frac{5}{ \sqrt{2}} \\ \\ \\ \text{Agora e so racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por } \sqrt{2} \\ \\ \\ \frac{5}{ \sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ \\ \\ \frac{5\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} \\\\ \\ \text{Cancela a raiz com o expoente} \\ \\ \\ =~\boxed{\boxed{ \frac{5\sqrt{2}}{2} }}~~~~~~ ~\longleftarrow\text{Resposta}$