Question

Simplifique a expressão radical:

$\sqrt[4]{\frac{3x^8y^2}{8x^2} }$

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{x\sqrt[4]{6x^2y^2} }{2 }$

Explicação passo a passo:

$\sqrt[4]{\dfrac{3x^8y^2}{8x^2} }$

Dentro do radicando simplificar o possível na fração

$=\sqrt[4]{\dfrac{3x^{(8-2)} y^2}{8} }$              ( I )

$=\sqrt[4]{\dfrac{3x^{6} y^2}{8} }$

Desdobrar a fração e o radical  ( II )

$=\sqrt[4]{\dfrac{3}{8} }*\sqrt[4]{x^6} *\sqrt[4]{y^2}$

Cálculos auxiliares

No primeiro radical vai ser feito, um pequeno malabarismo, dentro das

regras matemáticas.

$\sqrt[4]{\dfrac{3*2}{8*2} }=\sqrt[4]{\dfrac{6}{16} }=\dfrac{\sqrt[4]{6} }{\sqrt[4]{2^4} } =\dfrac{\sqrt[4]{6} }{2 }$      

Pode-se multiplicar ( ou dividir ), por um valor diferente de zero, o

numerador e o denominador de uma fração que obtemos uma fração

equivalente à fração inicial.

Verificação:

$\dfrac{3}{8} =0,375$      e           $\dfrac{6}{16} =0,375$    

         

Frações equivalentes.

O que se ganhou com esta multiplicação foi o permitir uma simplificação

no denominador, pois deste modo o índice do radical ficou igual ao

expoente do radicando.

No segundo radical pode-se simplificar o índice e o expoente do

radicando

$\sqrt[4]{x^6} =\sqrt[4]{x^4*x^2} =\sqrt[4]{x^4} *\sqrt[4]{x^2} =x\sqrt[4]{x^2}$        ( III )

O terceiro radical fica como está.

Fim de cálculos auxiliares

Juntemos tudo

$=\dfrac{\sqrt[4]{6} }{2 } *\dfrac{x\sqrt[4]{x^2} }{1} *\dfrac{\sqrt[4]{y^2} }{1}$

$=\dfrac{x\sqrt[4]{6} *\sqrt[4]{x^2}*\sqrt[4]{y^2} }{2 }$

$=\dfrac{x\sqrt[4]{6x^2y^2} }{2 }$

Fim de resolução

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Observação 1 → Divisão de potências com a mesma base

Mantém-se a base e subtraem-se os expoentes , pela ordem em que

aparecem.

Exemplo:

ver em ( I )

Observação 2 → Desdobrar radical

Pode ser feito porque no numerador e no denominador da fração só

temos multiplicações.

Exemplo:

ver em ( II )

Observação 3 → Radicais com o índice igual ao expoente do radicando

Quando índice  do radical igual ao expoente do radicando, o resultado é

a base da potência no radicando.

Isto acontece porque a potenciação e radiciação são operações inversas

que se cancelam quando usadas em simultâneo

Exemplo :

$\sqrt[4]{x^4}=x$    em  ( III )

Observação 4 → Elementos de um radical

Exemplo :  

$\sqrt[3]{7^2}$

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Bons estudos.

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( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.