Question

simplifique a expressão (cot^2 x / 1 + cotg^2x) + sen^2 x, alguem sabe resolver e me explicar pf?

Answer 1

Olá


sen - > seno
cos -> cosseno
tg -> tangente
csc -> cossecante
cot -> cotangente
sec -> secante 




Antes de ir a questão, tenho que apresentar algumas identidades trigonométricas para que você possa entender o raciocínio.


$\displaystyle \mathsf{csc^2x~=~ \frac{1}{sen^2x} }\\\\\\\mathsf{sen^2x+cos^2x=1}\\\\\\\mathsf{1+ctg^2x~=~csc^2x}$



Com apenas essas três já é o suficiente para entender a questão.


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x}{1+ctg^2x}+senx }$


Faz o MMC entre as duas parcelas. (Multiplica os denominadores, e em seguida multiplica em cruz)


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x~+~sen^2x\cdot(1+ctg^2x)}{1+ctg^2x} }$



Utilizando a propriedade vista no início

1+ctg²x = csc²x


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x~+~sen^2x\cdot csc^2x}{1+ctg^2x} }$



No produto entre seno e cossecante, utilizaremos outra propriedade vista, dada por:



$\displaystyle\mathsf{ csc^2x=\frac{1}{sen^2x} }$



Lembrando que só aplicaremos essa propriedade no produto de seno e cossecante.


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x~+~sen^2x\cdot \frac{1}{sen^2x} }{1+ctg^2x} }$


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x~+~ \frac{sen^2x}{sen^2x} }{1+ctg^2x} }$


$\displaystyle\mathsf{ \frac{ctg^2x~+~1}{1+ctg^2x} }$


Perceba que, o que está no numerador é exatamente igual ao que está no denominador, por tanto, o resultado é 1.




$\displaystyle\boxed{\mathsf{ \frac{ctg^2x}{1+ctg^2x}+senx ~=~1}}$