Question

Simplifique a expressão: cos2x/1+sen2x

Answer 1

Simplificar a expressão trigonométrica:

    $\mathsf{\dfrac{cos(2x)}{1+sen(2x)}}$

Aplique as identidades do cosseno e do seno do arco duplo:

    •  cos(2x) = cos² x − sen² x

    •  sen(2x) = 2 sen x cos x

e a expressão fica

    $\mathsf{=\dfrac{cos^2\,x-sen^2\,x}{1+2\,sen\,x\,cos\,x}}$

Sabemos pela identidade trigonométrica fundamental que

    •  1 = cos² x + sen² x

Substitua o 1 no denominador por cos² x + sen² x:

    $\mathsf{=\dfrac{cos^2\,x-sen^2\,x}{(cos^2\,x+sen^2\,x)+2\,sen\,x\,cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{cos^2\,x-sen^2\,x}{cos^2\,x+2\,sen\,x\,cos\,x+sen^2\,x}}$

No numerador temos uma diferença entre quadrados. E no denominador temos a expansão do quadrado de uma soma. Dois produtos notáveis:

    •  a² − b² = (a − b)(a + b)

    •  a² + 2ab + b² = (a + b)²

Para a = cos x e b = sen x, a expressão fica

    $\mathsf{=\dfrac{(cos\,x-sen\,x)(cos\,x+sen\,x)}{(cos\,x+sen\,x)^2}}$

Simplifique o fator comum (cos x + sen x) que aparece no numerador e no denominador:

    $\mathsf{=\dfrac{cos\,x-sen\,x}{cos\,x+sen\,x}\qquad \checkmark}$

A expressão acima já é uma forma simplificada da expressão dada. Para o caso particular em que cos x ≠ 0, a expressão ainda pode ser manipulada, colocando cos x em evidência no numerador e no denominador:

    $\large\begin{array}{l}\mathsf{=\dfrac{cos\,x\cdot (1-\frac{sen\,x}{cos\,x})}{cos\,x\cdot (1+\frac{sen\,x}{cos\,x})}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1-\frac{sen\,x}{cos\,x}}{1+\frac{sen\,x}{cos\,x}}}\end{array}$

    $\mathsf{=\dfrac{1-tg\,x}{1+tg\,x}\qquad \checkmark}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

S=Cos2x/(1+sen2x)

S=(Cos^2x-sen^2x)/(sen^2x+2senxcosx+cos^2x)

S=[(Cos^2x-sen^2x)/(senx+cosx)^2]×(cos^2x/cos^2x)

S=(1-tan^2x)/(tanx+1)^2

S=(1-tan^2x)/(tanx+1)^2

S=(1+tanx)(1-tanx)/(1+tanx)^2

S=(1-tanx)/(1+tanx)

Fórmulas : sec^2x=1+tan^2x

Cos2x=cos^2x-sen^2x

Sen 2x=2senxcosx

Sen^2 x+cos^2x=1

Sec^2x=1+tan^2x

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2