Question

Simplifique a expressão a seguir utilizando as propriedades de potência

Answer 1

Simplifique a expressão a seguir utilizando as propriedades de potência:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} } }$

Após a realização dos cálculos concluímos que o valor da expressão ( numérica) é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 10^{12/5} } }$

A potência é um produto de números (fatores) iguais.

Exemplo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 2 = 2^5 = 32 \: \begin{cases}\sf 2 \to base \\\sf 5 \to expoente \\ \sf 81 \to pot\hat{e}ncia \end{cases} } }$

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ a^n =\underbrace{ \sf a \cdot a \cdot a \cdot a,\dotsi , a}_{\sf n ~ fatores} } } }$

Algumas propriedades de potência:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^m \cdot a^n = a^{m+n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{a^m \div a^n = a^{m-n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (a^m)^n = a^{m \cdot n} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ a^{m/n} = \sqrt[\sf n]{ \sf a ^m} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} } }$

Aplicando a definição e as propriedades de potência, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \dfrac{10^{2+5} \cdot 10^{-3}}{\left( 10^{1/5}\right)^8} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \dfrac{10^{7-3} }{ 10 ^{8/5} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \dfrac{10^{4} }{ 10 ^{8/5} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 10^{4-8/5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 10^{20/5-8/5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 10^{12/5} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \sqrt[\sf 5]{\sf 10^{12}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \sqrt[\sf 5]{\sf 10^{5} \cdot 10^5 \cdot 10^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = \sqrt[\sf 5]{\sf 10^{5} } \cdot \sqrt[\sf 5]{\sf 10^5 } \cdot \sqrt[\sf 5 ]{ \sf 10^2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 10 \cdot10\cdot \sqrt[\sf 5 ]{ \sf 100} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{10^2\cdot 10^5 \cdot 0{,}001}{\left(\sqrt[\sf 5]{\sf 10}\right)^8} = 100\sqrt[\sf5]{\sf 100} }$

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