Question

Simplificar o radical

a. ³√2⁷ =​

Answer 1

Resposta:

$4(^3\sqrt{2})$

Raciocínio:

Analisando a expressão, podemos perceber que a única forma de simplificá-la seria encontrando uma forma diferente de representar o que está contido dentro da raiz. Se conseguirmos passar pelo menos uma parte da raiz "para fora", já teremos uma simplificação.

Como sabemos, a raiz cúbica de um número é um outro número que, atuando como três fatores de uma multiplicação, tem como produto o número dentro da raiz. Ou seja:

$^3\sqrt{x} = y\ |\ y \cdot y \cdot y = x$

Agora, se tivermos, por exemplo, $^3\sqrt{x^3}$, então perceba: $^3\sqrt{x^3} =\ ^3\sqrt{(x \cdot x \cdot x)} = x$, ou seja, se temos um número ao cubo dentro da raiz cúbica, então a raiz cúbica do cubo é o próprio número!

Então, o que precisamos fazer para simplificar a expressão é transformar $2^7$ em um produto onde exista pelo menos uma ocorrência de $2^3$. Sabemos $2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Perceba que podemos, então, agrupar os fatores em diferentes potências:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 2 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2$

Ótimo! Então quer dizer que podemos substituir a potenciação na expressão:

$^3\sqrt{2^7} =\ ^3\sqrt{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2}$

Como temos somente fatoração dentro da raiz, podemos dividir cada fator em uma raiz:

$^3\sqrt{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2} = ^3\sqrt{2^3} \cdot\ ^3\sqrt{2^3} \cdot\ ^3\sqrt{2} = 2 \cdot 2(^3\sqrt{2}) = 4(^3\sqrt{2})$