Question

Simplificar a expressão $E= cos(a).cos(2a).cos(4a).cos(8a)$ para qualquer $a$ pertence aos R para
obter a igualdade: $E= \frac{sen(16a)}{16sen(a)}$, gostaria da justificativa.

Answer 1

Identidade que será utilizada:

$\mathrm{sen}(2\theta)=2\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)$


A ideia é multiplicar e dividir a expressão por fatores específicos, de forma que apareça o termo desejado. Note que, ao fazer essa operação, teremos de assumir várias condições, pois não é possível multiplicar e dividir a expressão por zero, por exemplo.

$E=\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(4a)\cdot \cos(8a)$


Assumindo que $\mathrm{sen}(8a)\neq 0,$ multiplicamos e dividimos a expressão acima por $2\,\mathrm{sen}(8a):$

$E=\dfrac{\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(4a)\cdot 2\,\mathrm{sen}(8a)\cos(8a)}{2\,\mathrm{sen}(8a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \cos(4a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{2\,\mathrm{sen}(8a)}$


Assumindo que $\mathrm{sen}(4a)\neq 0,$ multiplicamos e dividimos a expressão acima por $2\,\mathrm{sen}(4a):$

$E=\dfrac{\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot 2\,\mathrm{sen}(4a)\cos(4a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{2\,\mathrm{sen}(4a)\cdot 2\,\mathrm{sen}(8a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \mathrm{sen}(8a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{4\,\mathrm{sen}(4a)\cdot\mathrm{sen}(8a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\cos(a)\cdot \cos(2a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{4\,\mathrm{sen}(4a)}$


Assumindo que $\mathrm{sen}(2a)\neq 0,$ multiplicamos e dividimos a expressão acima por $2\,\mathrm{sen}(2a):$

$E=\dfrac{\cos(a)\cdot 2\,\mathrm{sen}(2a)\cos(2a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{2\,\mathrm{sen}(2a)\cdot 4\,\mathrm{sen}(4a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\cos(a)\cdot \mathrm{sen}(4a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{8\,\mathrm{sen}(2a)\cdot \mathrm{sen}(4a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\cos(a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{8\,\mathrm{sen}(2a)}$


Assumindo que $\mathrm{sen}(a)\neq 0,$ multiplicamos e dividimos a expressão acima por $2\,\mathrm{sen}(a):$

$E=\dfrac{2\,\mathrm{sen}(a)\cos(a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{2\,\mathrm{sen}(a)\cdot 8\,\mathrm{sen}(2a)}\\ \\ \\ E=\dfrac{\mathrm{sen}(2a)\cdot \mathrm{sen}(16a)}{16\,\mathrm{sen}(a)\cdot \mathrm{sen}(2a)}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}E=\dfrac{\mathrm{sen}(16a)}{16\,\mathrm{sen}(a)} \end{array}}$


A simplificação acima é válida apenas se assumirmos que

$\mathrm{sen}(a)\neq 0.$